结论：在公司工作九年没签劳动合同，第十年要求签劳动合同是可以签的，并且从法律角度，公司应当与您签订书面劳动合同。以下从多个角度为您详细分析：
法律背景与规定
《劳动合同法》的相关规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
- 第八十二条还规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
未签劳动合同的法律后果：
- 在您的情况下，由于已经工作了九年而未签订劳动合同，根据法律规定，这并不影响您与公司之间劳动关系的存在。实际上，从您工作的第二个月起，公司就应当向您支付双倍工资（但需注意，此双倍工资的请求权可能因时效问题而受限，具体需根据当地法律规定和实际情况判断）。
- 更重要的是，由于您已经连续工作九年，根据《劳动合同法》第十四条，您有权要求与公司签订无固定期限劳动合同。
实际操作与建议
要求签订书面劳动合同：
- 您完全有权要求公司与您签订书面劳动合同，并且应当明确提出签订无固定期限劳动合同的要求。
- 如果公司拒绝签订或提出不合理条件，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
收集证据：
- 在要求签订劳动合同的过程中，建议您收集并保存好与工作相关的所有证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明您与公司之间的劳动关系以及您的工作年限。
法律途径：
- 如果公司拒绝签订劳动合同或违反相关法律规定，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
可能的法律后果与风险
公司可能面临的法律后果：
- 如果公司拒绝与您签订书面劳动合同或违反无固定期限劳动合同的规定，公司可能面临支付双倍工资、赔偿金等法律责任。
您的风险与注意事项：
- 在要求签订劳动合同的过程中，您需要注意保留好相关证据，并避免与公司发生不必要的冲突。
- 如果公司提出不合理条件或拒绝签订合同，建议您及时咨询专业律师（即向我咨询），以便更好地了解自己的权益和维权途径。
总结与建议：您在公司工作九年未签劳动合同，第十年要求签劳动合同是完全合法的，并且公司应当与您签订无固定期限劳动合同。在要求签订合同的过程中，建议您收集好相关证据，并明确提出自己的要求。如果公司拒绝或提出不合理条件，您可以通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。