结论：工作十年未签订劳动合同，劳动者在特定情况下确实有权要求用人单位赔偿，关键在于劳动者的合法权益是否因未签订劳动合同而受到了实际损害。以下从不同角度为您详细分析：
一、无固定期限劳动合同的认定及双倍工资赔偿
法律规定：
- 根据《劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。
- 同时，第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资；若违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，也应自应当订立之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
实际情况分析：
- 在您工作十年未签劳动合同的情况下，法律上已视为您与用人单位订立了无固定期限劳动合同。
- 但主张双倍工资赔偿受仲裁时效限制，一般为一年。因此，您可能难以主张自用工之日起满一年前未签合同期间的双倍工资差额。
- 不过，对于视为订立无固定期限劳动合同后仍未签订书面合同的情况，您可主张自应当订立之日起的双倍工资差额，同样需考虑仲裁时效。
二、社会保险补缴及经济补偿
补缴社会保险：
- 法律规定：《社会保险法》规定，用人单位应自用工之日起三十日内为职工办理社会保险登记。未办理的，由社会保险经办机构核定应缴费用。
- 实际情况分析：若您十年间未签订劳动合同且未缴纳社保，您可以要求用人单位补缴这十年的社保费，以保障自身在养老、医疗等方面的权益。
经济补偿：
- 法律规定：《劳动合同法》第三十八条规定，若用人单位未依法为劳动者缴纳社保费，劳动者可解除劳动合同并要求经济补偿。补偿标准按工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计，不满六个月的支付半个月工资。
- 实际情况分析：若您以未依法缴纳社保为由解除劳动合同，可要求用人单位支付十个月工资的经济补偿（月工资高于当地职工月平均工资三倍的，按三倍数额支付，最高不超过十二年）。
三、赔偿的实际情况与途径
实际情况分析：
- 若您在这十年间未因未签订劳动合同而遭受实际损害（如工资、社保等待遇均按时足额支付和缴纳），则通常难以主张经济赔偿。
- 但若因此遭受损害（如未支付加班费、未缴纳社保等），您可就具体损害事实向用人单位提出赔偿要求。
主张赔偿的途径：
- 劳动争议调解：可向企业劳动争议调解委员会或基层人民调解组织等申请调解。
- 劳动仲裁：调解不成时，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，需在劳动争议发生之日起一年内提出书面申请。
- 诉讼：对仲裁裁决不服的，除法律另有规定外，可向人民法院提起诉讼。
建议：鉴于您的情况较为复杂，且涉及多个法律条款和实际情况的考量，我建议您直接向我咨询，提供更详细的信息，以便我能更准确地评估您的权益和可能的赔偿途径。同时，您也可以准备相关证据（如工资条、工作证、同事证言等），以支持您的主张。