针对您提出的问题“员工提出离职后生病了怎么办”，这确实是一个涉及劳动合同、医疗期以及员工权益的复杂问题。以下是对此问题的详细解答：
一、劳动合同解除的时间点
首先，我们需要明确员工提出离职后劳动合同何时解除。根据《劳动合同法》第37条的规定，员工在试用期内提前3天通知公司，或试用期满后提前30天以书面形式通知公司，即可单方解除劳动合同。这意味着，只要员工履行了提前通知的义务，待3天或30天期满后，劳动合同即自动解除，无需公司批准。
二、辞职员工是否享受医疗期保护
接下来，我们讨论辞职员工是否享受医疗期保护的问题。根据《劳动合同法》第45条的规定，当劳动合同在医疗期内到期时，公司不得以劳动合同期满为由终止劳动合同，需将劳动合同进行顺延处理。然而，这一规定并不适用于员工主动提出辞职的情况。
员工提出辞职后生病的，除非公司与员工之间协商一致将解除劳动合同的时间往后顺延，否则解除时间是无需往后延的。也就是说，如果员工在提出辞职后生病，但劳动合同解除日已经确定，并且未协商一致顺延，那么劳动合同仍将在原定日期解除。
三、病假期间的待遇
尽管劳动合同可能因员工的辞职而解除，但如果员工在病假期间（即医疗期内）仍与公司存在劳动关系，公司应按照相关规定向员工发放病假工资，并确保员工在此期间受到医疗期的保护。具体来说，如果员工在提出辞职后的病假期间内，劳动合同尚未解除，公司应继续支付病假工资，并不得依据《劳动合同法》第40条所列情形为由解除劳动合同。
四、特殊情况处理
医保断缴缓冲期：若员工辞职后处于医保断缴缓冲期内，多数地区规定断缴一定时间内仍可享受医保待遇，生病就医费用可按规定报销。但超过缓冲期，医保待遇通常会暂停。
职业病诊断：若员工是因职业病辞职，且在离职前未进行职业健康检查，离职后被诊断为职业病，可自被诊断、鉴定为职业病之日起一年内申请工伤认定。经认定为工伤的，可享受工伤保险待遇。
社保未依法缴纳：若因原单位未依法缴纳社保，导致辞职后生病无法享受医保待遇，员工可要求原单位赔偿相应损失。
五、建议
对于公司而言，在处理员工提出离职后生病的情况时，应谨慎对待，确保遵守相关法律法规，维护员工的合法权益。同时，也建议公司与员工保持良好沟通，尽量协商解决可能存在的问题和分歧。
综上所述，员工提出离职后生病是一个涉及多个方面的问题，需要根据具体情况进行妥善处理。希望以上解答能为您提供清晰的指导和帮助。