结论前置：在公司已经连续工作10年的情况下，您有权要求与公司签订无固定期限劳动合同，而非必须签订固定期限劳动合同。若公司坚持与您签订固定期限合同，您有权拒绝，并可通过法律途径维护自己的权益。
法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，劳动者在某一用人单位连续工作满十年的，有权要求订立无固定期限劳动合同。这里的“连续”是关键，意味着在这十年期间，您的劳动关系应持续存在，无中断或解除后重新建立的情况。无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同，它能为劳动者提供更稳定的就业保障。
您的权益与选择
要求签订无固定期限劳动合同：鉴于您已经在公司连续工作10年，您完全有权要求公司签订无固定期限劳动合同。这是您的合法权益，公司应当尊重并满足您的要求。
拒绝签订固定期限劳动合同：如果公司坚持与您签订固定期限劳动合同，您有权拒绝。因为根据法律规定，在满足一定条件下，您应当签订的是无固定期限劳动合同。
公司的责任与后果
违法责任：如果公司拒绝与您签订无固定期限劳动合同，而您又满足签订无固定期限劳动合同的条件，那么公司的行为将构成违法。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，公司应当自应当订立无固定期限劳动合同之日起向您每月支付二倍的工资作为赔偿。
行政监管与投诉：除了承担经济赔偿责任外，公司还可能面临劳动监察部门的调查和处理。您有权向当地劳动监察部门投诉，要求公司纠正违法行为并签订无固定期限劳动合同。
应对措施与建议
与公司协商：在签订劳动合同前，您可以与公司进行充分的协商沟通，明确表达您要求签订无固定期限劳动合同的意愿，并寻求双方都能接受的解决方案。
保留证据：为了维护自己的权益，您应当保留好与公司签订的所有劳动合同、工作证明、工资单等证据材料。这些证据将在您维权时发挥重要作用。
寻求法律援助：如果公司与您在签订无固定期限劳动合同上存在分歧，且协商无果，您可以向我咨询或向劳动仲裁机构申请仲裁。作为专业律师，我将为您提供全面的法律支持和帮助，确保您的合法权益得到维护。
特殊情况说明
如果在这10年期间，您的劳动合同有过中断、劳动关系解除又重新建立的情况，导致工作时间不连续，那么可能不符合签订无固定期限劳动合同的条件。但这种情况需要具体分析，您可以向我提供详细情况以便我给出更准确的法律意见。
如果公司自用工之日起满一年不与您订立书面劳动合同，那么根据法律规定，将视为公司已经与您订立了无固定期限劳动合同。这是对用人单位未及时与劳动者签订书面劳动合同的一种法律约束。
综上所述，您在公司已经连续工作10年的情况下，有权要求签订无固定期限劳动合同。如果公司拒绝或存在其他违法行为，您可以通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。