结论：在您描述的情形下，能否签订无固定期限劳动合同，取决于您是否满足《中华人民共和国劳动合同法》中规定的签订无固定期限劳动合同的条件，以及您与用人单位之间的协商情况。以下是对此问题的详细分析：
一、法律规定与条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当满足以下条件之一时，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的（除非劳动者明确提出订立固定期限劳动合同），应当订立无固定期限劳动合同：
连续工作满十年：若您在某一家用人单位（如您提到的A公司）连续工作满十年，且此时您提出或同意续订、订立劳动合同，除非您明确提出订立固定期限劳动合同，否则应当订立无固定期限劳动合同。
连续二次固定期限且无违规：若您已经连续与用人单位订立了二次固定期限劳动合同，且在这两次合同期间内，您没有出现《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度）和第四十条第一项、第二项（如医疗期满不能胜任工作）规定的情形，那么在您提出或同意续订、订立劳动合同时，除非您明确提出订立固定期限劳动合同，否则也应当订立无固定期限劳动合同。
二、针对您情况的特别分析
多次签约不同公司：您提到与A公司、B公司以及另一家公司多次签约，这并不影响您在满足上述条件时与其中任何一家公司签订无固定期限劳动合同的权利。关键在于您是否在某一家公司连续工作满十年，或者是否已经与某一家公司连续订立了二次固定期限劳动合同且无违规情形。
第四次签约A公司：若您第四次签约A公司时，满足上述连续工作满十年或连续二次固定期限且无违规的条件，且您未提出订立固定期限劳动合同，则A公司应当与您订立无固定期限劳动合同。
三、实际操作与建议
核实工作年限与合同情况：首先，您需要核实自己在各家公司的工作年限以及合同签订情况，以确定是否满足签订无固定期限劳动合同的条件。
与用人单位协商：在满足条件的情况下，您可以与用人单位协商签订无固定期限劳动合同。若用人单位拒绝，您可以依据《劳动合同法》的相关规定维护自己的合法权益。
寻求法律援助：若在与用人单位协商过程中遇到困难或争议，您可以寻求法律援助或咨询专业律师（即向我咨询），以了解自己的权利和义务，并获取专业的法律建议。
四、法律后果
若用人单位违反规定拒绝订立无固定期限劳动合同，则需自应订立之日起向您每月支付二倍工资作为赔偿。同时，您也有权通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。
总结：能否签订无固定期限劳动合同取决于您是否满足法定条件以及与用人单位的协商情况。在满足条件的情况下，您有权要求签订无固定期限劳动合同，并可通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。