第四次签订劳动合同时，是可以签订无固定期限劳动合同的。以下从不同角度为您详细分析：

一、法律规定角度

根据《劳动合同法》第十四条的规定，无固定期限劳动合同是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。在以下情形之一出现时，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：

1. 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
2. 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
3. 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。

此外，如果用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，也视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。

二、实际操作角度

在实际操作中，只要劳动者和用人单位已经续订过两次固定期限劳动合同，且劳动者没有违反《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，那么在第三次续订劳动合同时，双方就应当签订无固定期限劳动合同。如果双方已经签订了四次有固定期限的劳动合同，那么实际上在第三次续订时就应该已经签订了无固定期限劳动合同。

三、法律后果角度

如果用人单位在符合签订无固定期限劳动合同的条件下，仍然拒绝与劳动者签订无固定期限劳动合同，而是选择签订固定期限劳动合同或者不续签劳动合同，那么用人单位可能面临法律责任。具体来说：

• 如果用人单位单方面解除或者终止劳动合同，且不是因为劳动者自身的原因，那么用人单位需要按照《劳动合同法》第四十七条的规定支付经济补偿金；
• 如果用人单位违反《劳动合同法》规定解除或者终止劳动合同，那么用人单位需要按照《劳动合同法》第八十七条的规定支付双倍赔偿金。

四、建议与提醒

1. 劳动者角度：如果您已经与用人单位续订过两次固定期限劳动合同，且符合签订无固定期限劳动合同的条件，那么在第三次续订劳动合同时，您可以主动提出签订无固定期限劳动合同，以保障自己的合法权益。
2. 用人单位角度：用人单位应当遵守《劳动合同法》的相关规定，在符合签订无固定期限劳动合同的条件下，与劳动者签订无固定期限劳动合同。如果用人单位拒绝签订或者违反规定解除劳动合同，可能会面临法律责任和经济损失。

如果您在签订无固定期限劳动合同过程中遇到任何问题或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。