在符合法定条件下，劳动者在与用人单位第四次签订劳动合同时，有权要求签订无固定期限劳动合同。这一结论基于《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，以下从多个角度进行详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当满足以下条件之一时，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：

1. 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
2. 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
3. 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。

二、第四次签合同的具体情况

在劳动者与用人单位已经连续订立了二次固定期限劳动合同后，进入第三次续订劳动合同（即第四次签订书面劳动合同）的阶段。此时，只要劳动者不存在以下法定解除劳动合同的情形，并且劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同，除非劳动者主动选择订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。这些法定解除劳动合同的情形包括但不限于：

• 在试用期间被证明不符合录用条件的；
• 严重违反用人单位的规章制度的；
• 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
• 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
• 因欺诈、胁迫或乘人之危导致劳动合同无效的；
• 被依法追究刑事责任的；
• 患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作的；
• 不能胜任工作，经过培训或调整岗位仍不能胜任的。

三、实际操作与协商原则

虽然法律赋予了劳动者在满足条件时要求签订无固定期限劳动合同的权利，但实际操作中仍需双方协商一致。如果劳动者未明确提出签订无固定期限劳动合同的要求，或双方通过协商达成了一致意见，也可以选择继续签订固定期限劳动合同。因此，在第四次签订劳动合同时，双方应充分沟通，明确各自的意愿和需求，以确保劳动合同的合法性和有效性。

四、法律后果

如果用人单位违反规定，不与符合条件的劳动者订立无固定期限劳动合同，则需自应当订立无固定期限劳动合同之日起，向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，确保用人单位依法履行签订无固定期限劳动合同的义务。

五、建议与注意事项

1. 劳动者：在符合条件时，应及时向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的要求，以确保自身权益得到保障。同时，应保留好相关证据，如连续订立二次固定期限劳动合同的证明、工作年限的证明等，以备不时之需。
2. 用人单位：应严格遵守法律规定，不得无故拒绝与符合条件的劳动者签订无固定期限劳动合同。否则，将面临法律责任和经济赔偿的风险。

综上所述，劳动者在第四次签订劳动合同时，如果满足连续订立二次固定期限劳动合同且没有其他法定解除劳动合同的情形，则有权要求签订无固定期限劳动合同。但具体合同的签订还需根据双方的协商情况和实际情况来确定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。