第三次签署固定期限劳动合同后，第四次续签时劳动者在满足一定条件下有权要求签订无固定期限劳动合同，但并非绝对必须如此。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律规定与条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当满足以下条件之一时，劳动者在续签劳动合同时有权提出签订无固定期限劳动合同：
连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者无过失：劳动者已与用人单位连续签订了两次固定期限的劳动合同，且不存在《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度）和第四十条第一项、第二项（如因病或非因工负伤不能胜任工作，或不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任）规定的情形。在此情况下，若劳动者提出续订劳动合同，且未提出订立固定期限劳动合同，则应当订立无固定期限劳动合同。
劳动者连续工作满十年：劳动者在同一用人单位连续工作满十年的，有权提出签订无固定期限劳动合同。
特定情形下的连续工作满十年：在用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，若劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，也应签订无固定期限劳动合同。
二、实际操作与法律责任
合规操作：当劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，且未提出固定期限请求时，用人单位应依法与其签订无固定期限劳动合同。这是用人单位的法定义务，必须履行。
违法责任：若用人单位违反规定拒绝订立无固定期限劳动合同，则需自应订立之日起向劳动者每月支付二倍工资作为赔偿。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，防止用人单位利用优势地位损害劳动者利益。
协商原则：尽管法律规定了签订无固定期限劳动合同的条件，但双方仍可在协商一致的基础上选择签订固定期限劳动合同。如果劳动者在续签时明确提出要订立固定期限劳动合同，或者双方协商一致约定了具体的合同期限，那么也可以签订固定期限劳动合同。
三、具体案例与解读
假设劳动者小张已与用人单位连续签订了两次固定期限的劳动合同，且不存在过失性辞退情形。在第三次劳动合同到期前，小张向用人单位提出续订劳动合同，并明确表示希望签订无固定期限劳动合同。在此情况下，用人单位应当与小张签订无固定期限劳动合同。如果用人单位拒绝签订，则可能面临支付双倍工资等法律责任。
四、建议与总结
对于劳动者而言，在续签劳动合同时，应充分了解自己的权益和法律规定，根据自身情况选择合适的合同类型。如果符合签订无固定期限劳动合同的条件，且希望获得更稳定的劳动关系，可以主动提出签订无固定期限劳动合同。
对于用人单位而言，应遵守相关法律法规，尊重劳动者的选择权，不得利用优势地位损害劳动者利益。在续签劳动合同时，应与劳动者充分协商，确保合同的签订既符合法律规定，又符合双方的利益和需求。
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