结论：在满足法定条件的情况下，劳务派遣员工在签订四次固定期限劳动合同后（实际上，关键在于连续订立二次及以上固定期限劳动合同且满足其他条件），有权要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。不过，更准确且常见的情形是连续订立两次固定期限劳动合同后即可提出该要求，四次合同的情况在逻辑上自然也满足这一核心条件，但重点在于每次合同后的连续工作状态及法定条件。

法律背景与分析：

1. 《劳动合同法》第十四条：

   • 该条款明确规定了无固定期限劳动合同的订立情形，其中与劳务派遣员工密切相关的是：“连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。”
   • 这意味着，只要劳务派遣员工与劳务派遣单位连续订立了两次固定期限劳动合同，且在工作期间没有出现严重违反规章制度、不能胜任工作等情形，当第二次固定期限劳动合同期满，员工提出续订劳动合同的，劳务派遣单位应当与其订立无固定期限劳动合同。四次合同的情况，在逻辑上已经包含了连续订立两次或更多次固定期限劳动合同的情形，因此同样适用。

2. 《劳动合同法》第五十八条：

   • 该条款规定了劳务派遣单位是用人单位，应与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同。但这并不排除在满足特定条件下，劳务派遣员工有权要求签订无固定期限劳动合同的权利。

3. 实际操作与注意事项：

   • 劳务派遣员工应确保自己满足签订无固定期限劳动合同的条件，包括但不限于连续订立两次或更多次固定期限劳动合同、在工作期间没有出现法定解除劳动合同的情形等。
   • 在合同期满前，劳务派遣员工应向劳务派遣单位明确提出续订无固定期限劳动合同的要求。
   • 如果劳务派遣单位拒绝与员工签订无固定期限劳动合同，员工可以通过劳动争议调解、仲裁或诉讼等法律途径维护自己的合法权益。

特殊性与建议：

• 劳务派遣合同虽然具有其特殊性，但这一特殊性并不妨碍劳务派遣员工在满足法定条件下要求签订无固定期限劳动合同的权利。
• 在实际操作中，劳务派遣员工应保留好与劳务派遣单位签订的劳动合同、工作证明等相关证据，以备不时之需。
• 如果对签订无固定期限劳动合同的具体条件或程序存在疑问，建议及时咨询专业律师或劳动争议调解机构，以确保自己的合法权益得到有效保障。

综上所述，劳务派遣员工在签订四次（或更准确地说，连续订立两次及以上）固定期限劳动合同后，只要满足法定条件，就有权要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。