公司可以提出解除劳动关系，但需满足一定条件并遵循法定程序，否则可能构成违法解除。以下从不同角度为你详细分析：
一、劳动合同到期未续签的法律后果
根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，若用人单位未与劳动者续签劳动合同，但劳动者继续在用人单位工作的，双方之间形成的是事实劳动关系。在此情况下，用人单位应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同，否则需承担支付双倍工资的法律责任。不过，这一规定主要关注的是未续签劳动合同后用人单位的义务，对于后续解除劳动关系的问题，还需结合其他法律规定进行分析。
二、员工一直请假的法律性质
员工一直请假，可能涉及多种情况，如病假、事假、年假等。不同性质的请假，对用人单位解除劳动关系的影响也不同。
病假：若员工因病需要长期请假，且提供了有效的医疗证明，那么用人单位在解除劳动关系时需格外谨慎。根据《劳动合同法》的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。医疗期满后，若劳动者不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。
事假或年假：若员工因个人原因或享受年假而请假，且请假期间未违反用人单位的规章制度或法律法规，那么用人单位在解除劳动关系时，需考虑是否满足法定解除条件。
三、公司提出解除劳动关系的合法条件
在员工一直请假的情况下，公司若想提出解除劳动关系，需满足以下条件之一：
员工严重违反用人单位的规章制度：若员工的请假行为违反了用人单位的规章制度，且该规章制度经过民主程序制定并已告知员工，那么用人单位可以依据规章制度解除劳动关系。但需注意，规章制度的内容需合法合理，且解除劳动关系的程序需符合法律规定。
员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作：若员工因请假导致无法胜任原工作，且经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任的，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。但在此情况下，用人单位需承担举证责任，证明员工确实不能胜任工作。
劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议：若因员工请假导致劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化（如项目取消、业务调整等），且双方无法就变更劳动合同内容达成协议的，用人单位可以解除劳动合同。但同样需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资。
四、违法解除劳动关系的法律后果
若公司未满足上述合法条件而擅自解除劳动关系，则可能构成违法解除。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
五、建议
审查规章制度：公司应首先审查自身的规章制度，确保请假制度合法合理，并明确违反请假制度的后果。
与员工沟通：在解除劳动关系前，公司应与员工进行充分沟通，了解请假原因，并尝试协商解决方案。
遵循法定程序：若决定解除劳动关系，公司应确保满足法定解除条件，并遵循法定程序，如提前通知、支付经济补偿等。
保留证据：公司应保留与解除劳动关系相关的所有证据，如请假记录、规章制度、沟通记录等，以备不时之需。
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