结论：劳动合同到期未续签但继续工作2个月，用人单位和劳动者可能面临不同的法律后果，具体如下：

1. 用人单位的法律责任
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。因此，若劳动合同到期后未续签但继续用工，用人单位需从合同到期次月起支付双倍工资（即额外支付1个月工资作为赔偿）。
   建议：用人单位应立即与劳动者补签书面劳动合同，并明确合同期限（可追溯至原合同到期日次日），以避免后续争议。若劳动者拒绝补签，用人单位需在1个月内书面终止劳动关系，否则仍需支付双倍工资。

2. 劳动者的权利与选择

   • 主张双倍工资：劳动者有权要求用人单位支付未续签期间的双倍工资差额（即1个月工资）。
     
   • 要求补签合同：劳动者可与用人单位协商补签书面劳动合同，明确权利义务。
     
   • 解除劳动关系并索赔：若用人单位未及时补签且未支付双倍工资，劳动者可依据《劳动合同法》第三十八条以“未依法签订书面劳动合同”为由解除劳动关系，并主张经济补偿金（工作年限每满1年支付1个月工资，6个月以上不满1年按1年计算）。
     注意：若劳动者继续工作且未提出异议，可能被视为双方以实际行为延续劳动关系，但用人单位仍需承担未签合同的双倍工资责任。

3. 实务操作建议

   • 用人单位：
     
     • 立即与劳动者沟通补签合同，明确合同期限和待遇；
       
     • 若劳动者拒绝补签，保留书面通知终止劳动关系的证据（如EMS邮寄、微信记录等）；
       
     • 核对工资发放记录，确保未签合同期间的工资已足额支付（避免与双倍工资赔偿重叠计算）。
       
   • 劳动者：
     
     • 收集证据（如工资条、考勤记录、工作邮件等）证明劳动关系存续；
       
     • 通过书面形式（如邮件、短信）向用人单位主张双倍工资或补签合同；
       
     • 若决定离职，提前30日书面通知用人单位，并保留通知证据。

风险提示：若双方未及时处理，可能引发劳动仲裁或诉讼，增加维权成本。建议根据实际情况选择协商或法律途径解决，如有疑问可直接向我咨询具体操作方案。