当劳动合同到期一个月后仍未续签时，您和用人单位都应当采取积极措施来妥善处理这一情况，以保障双方的合法权益。以下是从劳动者和用人单位两个角度给出的详细建议：
一、对于劳动者而言
主动沟通协商：
- 首先，建议您主动与用人单位的人力资源部门或上级领导进行沟通，明确表达您愿意续签劳动合同的意愿，并了解单位对于续签的态度和计划。
- 如果口头沟通没有结果，您可以考虑发送书面续签提醒，确保有正式的沟通记录，以备后续可能发生的纠纷。
保留关键证据：
- 在沟通过程中，请务必保留好相关证据，如聊天记录、邮件、书面续签提醒等，这些证据在后续可能发生的劳动争议中将起到重要作用。
- 同时，您也应继续保存考勤记录、工资流水、工作往来邮件等证明实际用工的材料，以证明您与用人单位之间存在事实劳动关系。
依法主张权益：
- 根据《劳动合同法》的规定，若从合同到期一个月后开始，用人单位仍未与您续签劳动合同，您有权要求单位从第二个月起支付双倍工资。
- 如果您决定离职，应提前通知用人单位（通常是30天，试用期内提前3天），并按照单位要求办理离职手续。同时，您也有权要求用人单位支付经济补偿（如果符合相关条件）。
考虑法律途径：
- 如果与用人单位协商无果，且您认为自己的权益受到了侵害，您可以考虑向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
二、对于用人单位而言
及时完成续签流程：
- 如果用人单位希望您继续留任，应及时与您协商续签劳动合同的具体条款，并在达成一致后签订书面合同。
- 如果因疏忽未及时续签，用人单位应尽快与您协商一致后补签合同，并将合同起始日期追溯到原合同到期之日，以避免法律风险。
明确终止劳动关系：
- 如果用人单位不希望您继续留任，应提前通知您劳动合同到期后不再续签，并明确终止劳动关系的日期。
- 根据《劳动合同法》的规定，除特定情形外，用人单位应向您支付经济补偿，具体标准按您在本单位工作的年限计算。
规范用工管理：
- 用人单位应建立合同到期预警机制，避免人为疏忽导致超期用工。
- 在续签或终止劳动合同时，用人单位应确保流程合法合规，并保留好相关证据材料。
办理离职手续：
- 在终止劳动关系时，用人单位应为您办理工作交接、工资结算、出具解除劳动关系证明等手续，并协助您办理社保转移等相关事宜。
三、特殊情况处理
- 如果用人单位在您合同到期后仍未续签，且您继续工作了较长时间（如超过一个月），但未得到合理解释或补偿，您应考虑及时采取法律措施维护自己的权益。
综上所述，劳动合同到期未续签时，双方应积极沟通、明确意图，并依法处理后续事宜。作为劳动者，您应保留好相关证据、依法主张权益；作为用人单位，则应规范用工管理、及时完成续签或终止流程。希望这些建议能对您有所帮助。