结论：根据您描述的情况，若公司不与您签订无固定期限劳动合同，您有权要求公司支付经济补偿，并可能面临劳动仲裁等法律程序来维护自身权益。

详细分析：

1. 无固定期限劳动合同的签订条件：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，或者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
   • 在您的情况下，已经连续工作了6年，并且已经签订了2年和4年的两次固定期限劳动合同，若您没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，且您提出或者同意续订劳动合同，那么公司应当与您签订无固定期限劳动合同。

2. 公司不签订无固定期限劳动合同的法律后果：

   • 如果公司违反规定不与您签订无固定期限劳动合同，根据《劳动合同法》的相关规定，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向您每月支付二倍的工资。
   • 同时，您也有权选择与公司解除劳动合同，并要求公司支付经济补偿。经济补偿的计算标准通常是根据您在公司的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。

3. 劳动仲裁的流程与注意事项：

   • 如果与公司协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
   • 在申请劳动仲裁时，您需要准备相关的证据材料，如劳动合同、工资单、工作证明等，以证明您与公司之间的劳动关系以及公司未签订无固定期限劳动合同的事实。
   • 劳动仲裁委员会会根据双方提供的证据和法律规定进行裁决，如果裁决结果对您有利，但公司仍不履行，您还可以向法院申请强制执行。

建议与行动：

• 与公司协商：首先，您可以尝试与公司进行协商，明确表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解公司的具体想法和态度。
• 准备证据材料：如果协商无果，您需要开始准备相关的证据材料，以备在劳动仲裁或诉讼中使用。
• 寻求法律帮助：在整个过程中，如果您感到困惑或不确定如何操作，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。

后续思考：

• 在处理此类劳动纠纷时，保持冷静和理性至关重要。通过合法途径维护自己的权益是最佳选择，避免采取过激行为或非法手段。
• 同时，您也可以考虑在未来的工作中更加注重与公司的沟通和交流，建立良好的劳动关系，以减少类似纠纷的发生。