结论前置：在您已与单位连续订立两次固定期限劳动合同，且不存在法定解除情形的情况下，您有权要求与单位签订无固定期限劳动合同。

具体分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动者与用人单位已连续订立两次固定期限劳动合同，并且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条（如试用期间被证明不符合录用条件、严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等）和第四十条第一项、第二项（劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的）规定的情形时，若续订劳动合同，应当订立无固定期限劳动合同。

2. 您的具体情况：

   • 您已在单位工作6年，且已签订两次固定期限劳动合同。若您不存在上述《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，那么在续订劳动合同时，您有权要求与单位签订无固定期限劳动合同。

3. 无固定期限劳动合同的意义：

   • 无固定期限劳动合同为劳动者提供了更稳定的就业保障，它并不意味着“铁饭碗”，但确实减少了因合同到期而失业的风险。同时，它也鼓励劳动者与用人单位建立长期稳定的劳动关系。

4. 注意事项：

   • 尽管您有权要求签订无固定期限劳动合同，但用人单位若存在合法理由（如您存在严重违反规章制度等法定情形），仍可依法解除劳动合同。
   • 您应确保在续订劳动合同时，明确表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并保留好相关证据（如书面申请、邮件记录等），以备不时之需。

建议行动：

• 在续订劳动合同时，主动向单位提出签订无固定期限劳动合同的要求，并明确表达您的意愿和理由。
• 若单位拒绝或提出不合理条件，您可以与单位进行协商，或寻求劳动仲裁机构的帮助，以维护您的合法权益。

后续思考：

• 签订无固定期限劳动合同后，您应继续遵守单位的规章制度，认真履行工作职责，以维护良好的劳动关系。
• 若您对劳动合同的签订、履行或解除等有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律服务。