工作了5年没签合同，合同时效期的问题是这样的：

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果用人单位自用工之日起超过一年未与劳动者订立书面劳动合同，那么视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。也就是说，从你开始工作的第五年起，实际上已经被视为与用人单位签订了无固定期限劳动合同。

关于双倍工资的问题：

1. 支付双倍工资的情形：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但这里需要注意的是，支付双倍工资的时间一般不超过11个月。
2. 双倍工资的时效：对于双倍工资的仲裁时效，一般为一年。这个时效从用人单位不签订书面劳动合同的违法行为结束之日的次日开始计算。如果你已经在用人单位工作满一年，那么仲裁时效从一年届满之次日开始计算。

关于后续的建议：

1. 尽快与用人单位补签劳动合同：虽然已经被视为签订了无固定期限劳动合同，但补签书面合同可以进一步明确双方的权利和义务，避免未来的纠纷。
2. 收集证据，维护权益：如果用人单位存在其他违法行为，如拖欠工资、未支付加班费等，你可以一并主张相应的赔偿或补偿。在此之前，建议收集好能证明劳动关系及工作年限的相关证据。

如果你还有其他关于劳动合同或劳动权益的问题，可以直接向我咨询，我会尽力为你提供专业的法律帮助。