结论：在满足法定条件的情况下，劳务派遣员工在连续签订三次固定期限劳动合同后，第四次签订合同时有权要求签订无固定期限劳动合同。
法律依据与分析
《劳动合同法》第十四条：
- 该条规定了无固定期限劳动合同的定义及订立情形。其中明确指出，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这一规定同样适用于劳务派遣员工，且从立法精神上看，连续订立三次固定期限劳动合同后，劳动者要求签订无固定期限劳动合同的权利应当得到更充分的保障。
《劳动合同法》第五十八条：
- 该条规定了劳务派遣单位是用人单位，应与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同。但这并不排除在满足特定条件下，劳务派遣员工有权要求签订无固定期限劳动合同的权利。实际上，劳务派遣员工与普通劳动者在劳动合同签订方面享有同等的法律保护。
具体分析：
可以要求签订的情况：
- 劳务派遣员工与劳务派遣单位已经连续订立了三次固定期限劳动合同（即已经满足连续订立二次固定期限劳动合同后再次续订的条件）。
- 员工在工作期间没有出现《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度、严重失职等）和第四十条第一项（如患病或非因工负伤不能从事工作）、第二项（如不能胜任工作经培训仍不能胜任）规定的情形。
- 当第三次固定期限劳动合同期满，员工提出续订劳动合同的，劳务派遣单位应当与其订立无固定期限劳动合同，除非员工主动提出订立固定期限劳动合同。
不可以要求签订的情况：
- 如果劳务派遣员工在三次固定期限劳动合同履行期间存在上述《劳动合同法》第三十九条、第四十条第一项、第二项规定的情形，那么即使签订了三次固定期限劳动合同，劳务派遣单位也可以不与其签订无固定期限劳动合同。
特殊性与实际操作
- 劳务派遣合同虽然具有其特殊性，但这一特殊性并不妨碍劳务派遣员工在满足法定条件下要求签订无固定期限劳动合同的权利。
- 在实际操作中，劳务派遣员工应确保自己满足签订无固定期限劳动合同的条件，并在合同期满前向劳务派遣单位明确提出续订要求，且表明希望签订无固定期限劳动合同的意愿。
- 如果劳务派遣单位拒绝与员工签订无固定期限劳动合同，员工可以通过法律途径维护自己的合法权益，如向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
法律建议
- 提前准备：在劳动合同即将到期前，劳务派遣员工应提前整理好自己的工作记录、考勤记录、工资单等证据，以证明自己满足签订无固定期限劳动合同的条件。
- 明确沟通：与劳务派遣单位进行沟通时，应明确表达自己希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解对方的意见和态度。
- 寻求法律援助：如果劳务派遣单位拒绝签订无固定期限劳动合同，员工应及时寻求法律援助，通过法律途径维护自己的权益。
综上所述，劳务派遣员工在连续签订三次固定期限劳动合同后，只要满足法定条件，就有权要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。在实际操作中，员工应充分了解自己的权利和法律规定，以确保自己的合法权益得到有效保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。