核心结论：连续两次签订固定期限劳动合同后，若第三次公司不续签且劳动者不存在可被解除劳动合同的情形，劳动者有权要求公司续签无固定期限劳动合同，或在公司违法不签的情况下，要求公司支付相应的赔偿金（通常为经济补偿标准的二倍）。若劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件，而公司未签订，劳动者还有权要求公司支付双倍工资，但这一权利的行使需满足一定条件并遵循法定程序。
法律背景与依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 若公司违法解除劳动合同或未依法签订无固定期限劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条、第四十七条以及第八十二条的规定，劳动者有权要求公司支付经济补偿或双倍工资。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。双倍工资的支付则自应当订立无固定期限劳动合同之日起计算。
劳动者权益与维权途径：
- 权益：劳动者在连续两次签订固定期限劳动合同后，有权要求公司续签无固定期限劳动合同，或在公司违法不签的情况下要求支付赔偿金或双倍工资。
- 维权途径：
- 与公司沟通协商：首先尝试与公司进行友好沟通，明确指出法律规定和公司应履行的义务，要求续签无固定期限劳动合同或支付相应赔偿金/双倍工资。沟通时可采用书面形式，如电子邮件、发函等，以留下记录并表明态度。
- 寻求劳动监察部门帮助：若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉，提交相关证据材料，包括劳动合同、工资支付记录、工作证等，以及沟通记录。劳动监察部门将调查核实公司的违法行为，并责令其改正。
- 申请劳动仲裁：如劳动监察部门的处理未能解决问题，劳动者可申请劳动仲裁。需撰写仲裁申请书，详细说明仲裁请求、事实和理由，并准备好相关证据材料。将仲裁申请书和证据材料一并提交到有管辖权的劳动仲裁委员会，参加庭审并陈述自己的主张。
- 向法院起诉：若对劳动仲裁结果不满意，劳动者可在规定时间内向人民法院提起诉讼。诉讼过程相对复杂，需按照法院要求进行各项程序，如提交起诉状、参加庭审等。
注意事项与特殊情况：
- 证据收集：在整个维权过程中，劳动者应始终注意收集和保存好相关证据，如劳动合同、工资支付记录、工作证、考勤记录等，以增加维权成功的几率。
- 了解权益与法律规定：劳动者应充分了解自己的权益和法律规定，避免被公司的不当行为所侵害。例如，劳动者需明确自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件，以及公司未签订时自己应如何维权。
- 特殊情况处理：若劳动者存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，如严重违反公司规章制度、不能胜任工作等，公司有权解除劳动合同且无需支付赔偿金或双倍工资。因此，劳动者在维权前应先评估自己的情况是否符合法律规定。
双倍工资的特殊说明：
- 劳动者要求双倍工资的前提是满足签订无固定期限劳动合同的条件，且公司未依法签订。双倍工资的支付通常有一定的时间限制，一般不超过11个月（从应当订立无固定期限劳动合同之日起计算）。
- 若劳动者的月工资高于用人单位所在地区上年度职工月平均工资的三倍，那么向其支付的双倍工资将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
综上所述，连续两次签订固定期限劳动合同后公司不续签的行为可能违反法律规定。劳动者应充分了解自己的权益和法律规定，并采取相应的法律手段来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。