结论前置：在连续签订三次固定期限劳动合同到期后，若用人单位未与劳动者续签书面劳动合同但劳动者继续工作，在一定条件下，劳动者可以要求用人单位支付双倍工资。

法律依据与详细分析

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于劳动合同到期后的续签情况。

可以要求双倍工资的情况

1. 超过一个月未续签且符合无固定期限劳动合同条件：

   • 若劳动者在用人单位连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且第三次劳动合同期满后继续工作，用人单位未与劳动者续签无固定期限劳动合同，且超过一个月仍未续签书面劳动合同，那么从劳动合同期满后满一个月的次日起，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资。

2. 用人单位故意不续签：

   • 若用人单位在劳动合同到期后，故意不与劳动者续签书面劳动合同，而劳动者继续在用人单位工作，超过一个月后，劳动者同样可以要求用人单位支付双倍工资。

不可以要求双倍工资的情况

1. 未超过一个月未续签：

   • 如果用人单位在劳动合同到期后的一个月内与劳动者续签了劳动合同，那么劳动者无权要求用人单位支付双倍工资。

2. 劳动者主动提出不续签：

   • 若劳动者在劳动合同到期后，主动提出不续签书面劳动合同，而继续在用人单位工作，那么劳动者无权要求用人单位支付双倍工资。但需注意，若此时劳动者已符合签订无固定期限劳动合同的条件，而用人单位未提出续签无固定期限劳动合同，劳动者有权要求用人单位承担相应的法律责任。

3. 双方已形成事实劳动关系但不符合无固定期限劳动合同条件：

   • 若劳动合同期满后，双方不具备《劳动合同法》第十四条第二款规定的应当签订无固定期限劳动合同的情形，而劳动者继续在用人单位工作，用人单位未表示异议，形成事实劳动关系。此时，若用人单位未超过一个月未与劳动者续签书面劳动合同，劳动者无权要求用人单位支付双倍工资。但用人单位仍需承担与劳动者签订书面劳动合同的法定责任。

案例分析

以钟某某案为例，钟某某与中山市某服饰公司签订的劳动合同期限为2015年8月10日至2016年7月9日。劳动合同期满后，钟某某一直继续在中山市某服饰公司工作，而中山市某服饰公司未提出异议。因双方仅签订过一次固定期限的劳动合同，故劳动合同期满时不属于《劳动合同法》第十四条第二款规定的应当签订无固定期限劳动合同的情形。视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但中山市某服饰公司未在劳动合同期满后一个月内与钟某某续签书面劳动合同，因此钟某某有权请求用人单位支付劳动合同期满一个月后未签订劳动合同的2倍工资。法院最终对钟某某未签订劳动合同2倍工资的请求予以支持。

法律建议

1. 劳动者应保留相关证据：

   • 劳动者在劳动合同到期后继续工作，应保留好与用人单位的劳动关系证明，如工资条、工作证、考勤记录等，以便在需要时证明自己的劳动关系。

2. 及时与用人单位沟通：

   • 劳动者在劳动合同到期后，应及时与用人单位沟通续签劳动合同的事宜，明确自己的权益和要求。

3. 寻求法律援助：

   • 若劳动者在劳动合同到期后继续工作，而用人单位未与劳动者续签书面劳动合同，且超过一个月仍未续签，劳动者可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。

综上所述，在连续签订三次固定期限劳动合同到期后，若用人单位未与劳动者续签书面劳动合同但劳动者继续工作，在一定条件下，劳动者可以要求用人单位支付双倍工资。但具体是否可以要求双倍工资，还需根据具体情况进行判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。