结论：您已经跟公司签订了4次合同，到期后公司不续约，若您符合签订无固定期限劳动合同的条件且提出续订要求，而公司拒绝，则公司可能构成违法终止劳动合同，您有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。
分析：
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，当劳动者与用人单位已连续订立两次固定期限劳动合同，且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形时，若劳动者提出或同意续订、订立劳动合同，除非劳动者主动提出订立固定期限劳动合同，否则应当签订无固定期限劳动合同。您已经签订了4次合同，若每次合同都是固定期限的，且没有上述法律规定的解除情形，那么在第四次合同到期后，您有权要求签订无固定期限劳动合同。
公司不续签的处理方式：
- 不符合无固定期限劳动合同条件的情形：若您不符合签订无固定期限劳动合同的条件（例如，您主动提出订立固定期限劳动合同，或者存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形），公司在劳动合同到期时可以选择不续签。此时，公司需按照您在本单位工作的年限支付经济补偿金。
- 符合无固定期限劳动合同条件但公司拒签的情形：若您符合签订无固定期限劳动合同的条件，而公司拒绝续签，则构成违法终止劳动合同。在此情况下，您有权要求公司继续履行劳动合同；若您不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，公司应按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。经济补偿的标准为每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。赔偿金则是经济补偿的两倍。
员工权益保护与争议解决：
- 面对公司不续签劳动合同时，您应妥善保留相关证据（如劳动合同、工资条、工作证等），以便在必要时维护自身合法权益。
- 若与公司就劳动合同续签问题产生争议，您可通过劳动仲裁或诉讼途径寻求法律救济。在申请劳动仲裁时，您需要提交仲裁申请书、相关证据材料等，并按照仲裁机构的程序进行。
建议：
- 在与公司沟通时，明确表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解公司的具体态度和理由。
- 若公司拒绝续签且您认为自身权益受到侵害，及时咨询专业律师（比如我）并准备相关证据材料，以便通过法律途径维护自身权益。
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第十四条：无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：……（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条：用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
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