结论前置：当劳动合同到期，公司不续签无固定期限劳动合同时，员工可以争取到的权益主要包括经济补偿金，并且在特定情况下可能还有赔偿金。以下是对此问题的详细分析：
一、经济补偿金
法律依据：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
计算方式：
- 经济补偿金的计算通常依据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
特殊情况：
- 如果劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
二、赔偿金（特定情况下）
法律依据：
- 如果用人单位不续签劳动合同的行为违反了法律法规的强制性规定，或者未按照法定程序进行，劳动者可能还有权要求用人单位支付赔偿金。但这种情况相对较少，通常需要具体分析用人单位的行为是否构成违法解除或终止劳动合同。
赔偿金与经济补偿金的关系：
- 赔偿金通常是经济补偿金的两倍，但这是在用人单位违法解除或终止劳动合同的情况下才适用。如果用人单位只是未续签劳动合同，并未违法解除或终止，则通常只支付经济补偿金。
三、其他权益
未休年假补偿：
- 如果劳动者在劳动合同期间内有未休的年假，用人单位应当按照劳动者日工资收入的300%支付年休假工资报酬，其中包含用人单位支付劳动者正常工作期间的工资收入。
社保与公积金转移：
- 劳动合同终止后，用人单位应当为劳动者办理社保和公积金的转移手续，确保劳动者的社保和公积金权益不受影响。
四、建议与行动
与用人单位协商：
- 首先，建议劳动者与用人单位进行友好协商，明确用人单位不续签的原因，并尝试争取合理的经济补偿和其他权益。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，劳动者可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付经济补偿金、赔偿金（如适用）以及其他相关权益。
寻求法律援助：
- 在劳动仲裁过程中，如果劳动者感到困惑或无助，可以寻求专业律师的法律援助，以确保自己的权益得到充分保障。
总结：当劳动合同到期，公司不续签无固定期限劳动合同时，员工应首先了解自己的权益和可能的补偿方式。通过与用人单位协商、申请劳动仲裁或寻求法律援助等途径，员工可以争取到合理的经济补偿和其他相关权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。