当劳动合同到期，且单位和员工都没有提出续签时，劳动关系自然终止。以下是对此情况的详细解释和建议：

1. 劳动关系终止：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。若双方均未在合同到期前提出续签意向，劳动关系即行终止。

2. 单位责任：

   • 尽管法律没有强制要求单位必须提前通知劳动者合同到期，但出于人性化管理和法律风险防范的考虑，单位通常会选择提前通知。如果单位未提前通知，且未续签劳动合同，可能面临劳动监察部门的处罚，如被责令改正、支付罚款等。

3. 劳动者权益：

   • 劳动者在合同到期后，如果单位未续签且未提前通知，有权要求单位支付相应的经济补偿金或赔偿金。具体数额和支付方式需根据劳动合同法的相关规定和实际情况来确定。
   • 劳动者还应关注自己的失业保险待遇等权益，确保在失业后能够得到相应的保障。

4. 后续行动建议：

   • 与单位沟通：劳动者可以主动联系单位的人力资源部门或相关负责人，了解未续签的具体原因，并询问是否有补偿或后续安排。
   • 保留证据：劳动者应保留好劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等相关证据，以便在需要时证明自己的权益。
   • 法律维权：如果单位拒绝支付经济补偿金或赔偿金，劳动者可以在知道权利被侵害之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

5. 特殊情况说明：

   • 如果劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年等），可以要求单位与其签订无固定期限劳动合同。若单位拒绝，劳动者可依据《劳动合同法》第十四条主张权益。

综上所述，当劳动合同到期且双方未提出续签时，劳动关系自然终止。劳动者应关注自己的权益，与单位沟通并保留好相关证据。如有需要，可以采取法律手段维权。