结论：劳动合同到期公司既不提出续签也不提出不续签，员工可分情况采取不同措施，一是若想继续在公司工作，可与公司沟通明确续签事宜；二是若不想继续工作，可要求公司支付经济补偿并办理离职手续。以下是详细分析：

若员工想继续在公司工作

1. 主动沟通：员工应主动与公司的人力资源部门或上级领导进行沟通，明确表达自己希望续签劳动合同的意愿。在沟通时，可以询问公司对于续签的态度和计划，了解是否存在某些原因导致公司未及时提出续签。
2. 保留证据：如果沟通后公司仍然没有明确答复，员工可以以书面形式（如邮件、信函等）向公司提出续签劳动合同的申请，并保留好相关证据，以证明自己已经主动表达了续签的意愿。
3. 等待期限：根据相关法律规定，劳动合同期满后，劳动者仍在原用人单位工作，原用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但这种视为续订的情况一般不能超过一个月。所以员工在主动沟通后，可给予公司一定的合理期限来处理续签事宜。

若员工不想继续在公司工作

1. 要求经济补偿：根据《劳动合同法》规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。在这种情况下，公司未提出续签，员工有权要求公司按照工作年限支付相应的经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
2. 办理离职手续：员工可以与公司协商办理离职手续，包括工作交接、工资结算、社保转移等事项。在办理离职手续时，员工应要求公司出具终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。
3. 申请劳动仲裁：如果公司拒绝支付经济补偿或拒绝办理离职手续，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁时，员工需要提供相关的证据，如劳动合同、工资条、工作证明等，以证明自己与公司存在劳动关系以及公司未续签劳动合同的事实。