结论：即使没有签订劳动合同，您家人依然可以申请工伤认定，但需要先通过其他证据证明与私人小厂存在事实劳动关系，之后按流程申请工伤认定并主张相应权益。以下是详细说明：
证明事实劳动关系
虽然没有签订书面劳动合同，但只要能证明与私人小厂存在事实劳动关系，就不影响工伤认定申请。可以收集以下证据来证明：
- 工资支付凭证：如银行工资流水记录，这能直观地显示小厂定期向您家人支付工资的情况，是证明劳动关系的有力证据；若是以现金形式发放工资，可寻找工资条、同事的证人证言等来佐证。
- 工作证、服务证：这些证件上如果有小厂的名称、您家人的姓名、岗位等信息，能够表明您家人在该厂工作。
- 考勤记录：包括打卡记录、签到表等，可以证明您家人在小厂的工作时间和出勤情况。
- 招工登记表、报名表：如果小厂有相关的招工手续，这些表格上记录的信息也能辅助证明劳动关系。
- 其他劳动者证言：与您家人一同在该小厂工作的其他员工的证言，能说明您家人在厂里的工作情况以及与小厂的劳动关系。
申请工伤认定流程
- 准备材料：
- 工伤认定申请表，需详细填写事故发生的时间、地点、原因以及职工伤害程度等基本情况。
- 与用人单位存在事实劳动关系的证明材料，即前面提到的各类能证明劳动关系的证据。
- 医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书），您家人已经出院，可让医院出具详细的诊断证明，明确受伤情况。
- 提交申请：向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。一般来说，私人小厂所在地的区、县级人力资源和社会保障局就是受理工伤认定的部门。
- 受理与调查：社会保险行政部门收到申请后，会对申请材料进行审核，如果材料完整，会正式受理；如果材料不完整，会要求申请人补充材料。受理后，社会保险行政部门会根据需要对申请人提供的证据进行调查核实，可能会向小厂、您家人以及其他相关人员进行询问、了解情况。
- 作出认定决定：社会保险行政部门自受理工伤认定申请之日起60日内会作出工伤认定的决定，并出具《认定工伤决定书》或者《不予认定工伤决定书》。如果情况复杂，经批准可以延长30日。
后续权益主张
- 如果被认定为工伤：您家人可以享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。如果小厂没有为职工缴纳工伤保险，那么这些费用将由小厂承担。您可以先与小厂协商赔偿事宜，如果协商不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向法院提起诉讼。
- 如果未被认定为工伤：您家人对认定结论不服的，可以在收到《不予认定工伤决定书》之日起60日内向作出认定结论的社会保险行政部门的上级机关申请行政复议，也可以在6个月内直接向法院提起行政诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
在整个过程中，如果遇到任何问题，都可以直接向我咨询，我会为您提供详细的法律指导。