结论：即使员工没有劳动合同，且工厂是外包给私人的，员工仍然有权申请工伤认定，并在认定后要求相应的工伤赔偿。如果工厂不认可工伤认定，员工可以通过法律途径来维护自己的权益。

详细分析：

1. 工伤认定的法律依据：

   • 根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。这一规定并未要求职工必须与用人单位签订书面劳动合同。
   • 即使工厂是外包给私人的，只要员工是在为工厂提供劳务的过程中受伤，且符合工伤认定的条件，就应当被认定为工伤。

2. 没有劳动合同的情况：

   • 没有劳动合同并不影响工伤的认定。在实际操作中，劳动保障行政部门会根据员工提供的证据，如工作证、服务证、考勤记录、同事证言等，来认定员工与用人单位之间是否存在事实劳动关系。
   • 如果员工能够证明自己与工厂之间存在事实劳动关系，并且是在工作过程中受伤，那么就有权申请工伤认定。

3. 工厂不认可工伤认定的处理：

   • 如果工厂不认可工伤认定结果，员工可以在收到认定书后的一定期限内（通常是60日内）向上一级劳动保障行政部门申请行政复议，或者在收到认定书后的三个月内向人民法院提起行政诉讼。
   • 在行政复议或行政诉讼过程中，员工需要提供充分的证据来证明自己的工伤事实，以及工伤认定决定的合法性。

4. 工伤赔偿的途径：

   • 一旦工伤认定被确认，员工就有权要求工厂按照《工伤保险条例》的规定支付工伤赔偿，包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。
   • 如果工厂拒绝支付工伤赔偿，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

建议：

• 员工在受伤后应尽快收集相关证据，如工作证、考勤记录、医疗记录等，以证明自己与工厂之间存在事实劳动关系以及工伤事实。
• 员工应及时向当地的劳动保障行政部门申请工伤认定，并按照规定的程序进行申请和复议或诉讼。
• 如果员工在处理工伤认定和赔偿过程中遇到困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。