结论：合同到期后56天公司让续签但您拒绝了，这56天期间是否可以申请双倍工资，需分情况讨论，一般情况下，若公司未及时与您续签且您继续工作，公司可能需要支付双倍工资，但具体还需看当地司法实践和证据情况。以下是对此问题的详细分析：
一、法律背景
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，用人单位继续用工的，应当在劳动合同期满之日起一个月内与劳动者续订书面劳动合同。若用人单位未在规定时间内与劳动者续订书面劳动合同，则可能需要向劳动者支付双倍工资。
二、具体情况分析
公司未及时续签，您继续工作：
- 若合同到期后，公司未在一个月内与您续签书面劳动合同，但您继续在公司工作，那么根据法律规定，公司可能需要向您支付双倍工资。
- 双倍工资的计算：通常是从合同到期后的第二个月开始计算，直至公司与您续签书面劳动合同或您离职之日止。但具体计算方式可能因地区而异，需参考当地司法实践。
- 计算公式（以月为单位计算）：\(双倍工资差额 = 月工资 \times (未续签月数 - 1)\)（若未续签月数超过一个月）。例如，若您月工资为5000元，未续签月数为2个月（即合同到期后第2个月和第3个月），则双倍工资差额为\(5000元 \times (2 - 1) = 5000元\)（但实际操作中，可能需考虑部分月份是否满月等因素）。
公司提出续签，您拒绝：
- 在您描述的情境中，合同到期后56天公司才提出续签，但您拒绝了。若您在这56天内继续工作，且公司未能在合同到期后一个月内与您续签，那么公司仍可能需要支付双倍工资（针对合同到期后第二个月至您拒绝续签前的期间）。
- 但若您拒绝续签后立即离职，且公司能证明其已在合理时间内提出续签，则公司可能无需支付双倍工资或仅需支付至您拒绝续签之日止的工资。
证据收集与维权：
- 若您认为公司应支付双倍工资，需收集相关证据，如劳动合同、工资单、工作证明、公司未续签的书面通知或沟通记录等。
- 您可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益。
三、地区差异与司法实践
- 需要注意的是，不同地区的司法实践可能存在差异。有些地区可能对双倍工资的支付有更为严格或宽松的规定。
- 因此，在具体操作中，建议您咨询当地劳动部门或专业律师，以了解当地的具体规定和司法实践。
四、建议与风险提示
- 及时沟通：若公司未及时续签劳动合同，建议您与公司及时沟通，明确双方的权利和义务。
- 保留证据：无论您选择续签还是离职，都建议您保留好相关证据，以备不时之需。
- 法律途径：若公司拒绝支付双倍工资或您与公司就续签问题存在争议，您可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益。但需注意，法律途径可能耗时较长且成本较高，建议您在决定前充分评估。
最后，若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况和当地司法实践，为您提供专业的法律建议。