结论：员工试用期第一天没打招呼就走，公司一般无需承担直接责任，但需根据具体情况判断是否需履行后续义务或承担间接责任。以下从不同角度详细分析：

1. 员工行为性质与法律后果

• 劳动关系解除：员工未提前通知即离职，属于单方解除劳动关系的行为。根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者在试用期内需提前三日通知用人单位方可解除合同。若未履行通知义务，虽不直接导致公司承担责任，但可能影响员工自身权益（如工资结算、离职证明开具等）。
• 公司责任豁免：公司无需因员工擅自离职而支付经济补偿或赔偿金，但需注意以下例外情形：
  • 若员工离职导致公司直接经济损失（如项目中断、客户流失等），公司可依据《劳动合同法》第九十条要求员工赔偿，但需举证损失与员工行为的因果关系。
  • 若公司存在未及时支付工资、未提供劳动条件等违法行为，员工可能以此为由主张被迫解除劳动关系，此时公司需承担相应责任（如支付经济补偿）。

2. 公司需履行的后续义务

• 工资结算：公司应按实际出勤天数支付工资，不得因员工擅自离职而克扣。若员工未办理交接手续导致公司损失，公司可另案主张赔偿，但不得直接从工资中扣除。
• 离职证明开具：根据《劳动合同法》第五十条，公司应在解除劳动关系时出具离职证明。若员工未主动索要，公司可通过邮寄、公告等方式履行义务，避免因未出具证明导致员工无法入职新单位而索赔。
• 社保与公积金处理：公司需及时为员工办理社保和公积金减员手续，避免因未停缴导致额外费用支出。

3. 公司可能面临的间接风险

• 劳动监察投诉：若员工以公司未支付工资、未出具离职证明等为由向劳动监察部门投诉，公司需配合调查并整改，否则可能面临行政处罚。
• 仲裁或诉讼风险：若员工主张公司违法解除劳动关系（如公司以员工擅自离职为由单方解除合同），公司需举证解除行为的合法性（如员工行为严重违反公司规章制度），否则可能被认定为违法解除并需支付赔偿金。

4. 实务建议

• 完善规章制度：公司应在员工手册或劳动合同中明确试用期离职流程（如提前通知期限、交接要求等），并要求员工签字确认，以便在纠纷中举证。
• 及时沟通与留证：员工擅自离职后，公司应通过书面、邮件或短信等方式联系员工，要求其返岗办理交接或说明离职原因，并保留沟通记录作为证据。
• 风险防范措施：对关键岗位员工，可要求其签订《保密协议》或《竞业限制协议》，并约定擅自离职的违约责任，以降低损失风险。

总结：员工试用期第一天未打招呼离职，公司一般无需承担直接责任，但需依法履行工资结算、离职证明开具等义务，并注意防范间接风险。若您遇到具体纠纷或需进一步了解操作细节，可直接向我咨询。