结论：工厂在试用期内开除员工，其责任取决于开除的理由是否合法。若理由合法，工厂无需承担额外责任；若理由不合法，则可能面临支付赔偿金、继续履行合同等法律责任。以下是对此问题的详细分析：
一、合法开除的情况
员工不符合录用条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的，用人单位可以解除劳动合同。这种情况下，工厂无需支付经济补偿或赔偿金。
- 关键点：工厂需要证明员工确实不符合录用条件，这通常要求工厂在招聘时明确录用条件，并在试用期内对员工进行合理的考核和评估。
员工存在严重过错：
- 如果员工在试用期内存在严重违反工厂规章制度、严重失职、营私舞弊给工厂造成重大损害等行为，工厂也可以依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。
二、非法开除的情况
无合法理由开除：
- 如果工厂无法证明员工不符合录用条件，也无法证明员工存在严重过错，而仅仅以“不合适”、“不称职”等模糊理由开除员工，则可能构成非法解除劳动合同。
- 法律责任：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，工厂可能需要支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
未履行法定程序：
- 即使工厂有合法理由开除员工，但如果未按照法定程序进行，如未提前通知员工、未听取员工申辩等，也可能构成非法解除劳动合同。
- 法律责任：同样可能面临支付赔偿金或继续履行合同等法律责任。
三、建议与注意事项
- 完善录用条件：工厂在招聘时应明确录用条件，并在劳动合同中或相关规章制度中予以明确，以便在试用期内对员工进行合理的考核和评估。
- 合法合规开除：工厂在开除员工时，应确保有合法理由，并按照法定程序进行，避免非法解除劳动合同带来的法律风险。
- 保留证据：工厂在开除员工前，应收集并保留相关证据，如员工不符合录用条件的证明、员工存在严重过错的证据等，以便在发生劳动纠纷时能够证明自己的主张。
举例说明：假设某工厂在招聘时明确要求员工需具备一定的专业技能和工作经验，并在劳动合同中予以明确。在试用期内，工厂发现某员工无法胜任工作，且无法提供符合要求的技能证明。此时，工厂可以依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，以员工不符合录用条件为由解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。
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