结论：根据您描述的情况，在连续签订两次固定期限劳动合同后，您有权在第二次合同到期时要求与公司签订无固定期限劳动合同，但具体还需看您是否满足其他法定条件以及公司的态度。
详细分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：……（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
条件分析：
- 连续订立两次固定期限劳动合同：您已经与公司签订了10年的合同，到期后又签订了5年的合同，这符合“连续订立两次固定期限劳动合同”的条件。
- 劳动者无过错：您需要确保自己没有《劳动合同法》第三十九条（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职等）和第四十条第一项、第二项（如劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的）规定的情形。
- 劳动者提出续订：在第二次合同到期时，您需要向公司提出续订无固定期限劳动合同的要求。
公司态度：
- 如果公司同意与您续订无固定期限劳动合同，那么双方可以签订无固定期限劳动合同。
- 如果公司拒绝，且您满足上述条件，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司签订无固定期限劳动合同或支付相应的赔偿。
实际操作建议：
- 在第二次合同到期前，您可以与公司进行沟通，表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿。
- 如果公司拒绝，您可以收集相关证据（如劳动合同、工作表现证明等），准备向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
举例说明：
假设您在公司工作表现良好，没有违反公司规章制度或不能胜任工作的情况，且您已经明确向公司表达了希望签订无固定期限劳动合同的意愿。如果公司仍然拒绝，那么您就有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司签订无固定期限劳动合同或支付相应的赔偿。
后续行动建议：
- 在与公司的沟通中，保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和理由。
- 如果公司拒绝签订无固定期限劳动合同，及时咨询专业律师（即我，黄兴同律师，专注于刑事辩护、合同纠纷领域），了解具体的维权步骤和策略。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。