如果医院合同制员工已经签订了两次固定期限劳动合同，第三次医院不续签的，员工可以依法主张经济补偿，并有权要求医院签订无固定期限劳动合同（若符合法定条件）。以下是具体分析：

1. 经济补偿的法律依据与计算
   根据《劳动合同法》第四十六条、第四十七条，劳动合同期满终止时，若用人单位不续签，需向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
   举例：若员工在医院工作8年，月工资为1万元，则经济补偿为8个月工资，即8万元。

2. 无固定期限劳动合同的签订条件
   根据《劳动合同法》第十四条，连续订立两次固定期限劳动合同后，若员工提出续签无固定期限劳动合同，且没有《劳动合同法》第三十九条（如严重违纪）和第四十条第一项、第二项（如不能胜任工作）规定的情形，医院应当签订无固定期限劳动合同。
   关键点：

   • 员工需主动提出续签无固定期限劳动合同；
     
   • 医院不得以“合同到期”为由拒绝，否则可能构成违法终止劳动合同。

3. 医院违法终止劳动合同的后果
   若医院拒绝续签且未支付经济补偿，或拒绝签订无固定期限劳动合同，员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张：

   • 继续履行劳动合同；
     
   • 或要求医院支付违法终止劳动合同的赔偿金（标准为经济补偿的两倍）。
     举例：若医院违法终止合同，员工工作8年，月工资1万元，则赔偿金为16万元（8个月×2）。

4. 实务建议

   • 保留证据：保存两次劳动合同、工资记录、工作证明等材料，证明劳动关系存续期间及工资水平；
     
   • 主动沟通：在合同到期前与医院协商，明确表达续签无固定期限劳动合同的意愿；
     
   • 及时维权：若医院拒绝，应在劳动合同终止后1年内申请劳动仲裁，避免超过时效。

总结：医院不续签第三次合同时，员工有权获得经济补偿；若符合条件，还可要求签订无固定期限劳动合同。若医院违法终止合同，员工可通过法律途径主张更高赔偿。如有具体细节需进一步分析，可直接向我咨询。