当您与用人单位已经连续签订了三次固定期限劳动合同，而单位在合同到期后选择不再续签时，这确实是一个涉及到您权益的重要问题。以下是我根据相关法律法规，为您提供的详细分析与建议：
一、法律依据与判断
首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者没有违反法律规定或严重失职等情形，且愿意继续签订劳动合同，用人单位应当与其签订无固定期限劳动合同。虽然法律未直接规定必须签订无固定期限劳动合同的次数上限，但基于该条款的立法精神，在您已经连续签订三次固定期限劳动合同的情况下，您有权要求签订无固定期限劳动合同。
二、单位不续签的可能后果
违法终止劳动合同：如果用人单位在第三次劳动合同到期后拒绝续签，且您符合签订无固定期限劳动合同的条件（如无重大过错、愿意续订等），则用人单位的行为可能构成违法终止劳动合同。
支付赔偿金：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。这意味着，如果用人单位违法终止劳动合同，您有权要求单位按照您在本单位的工作年限，每满一年支付两个月工资的标准向您支付赔偿金。
三、您的应对措施
与单位协商：我建议您首先尝试与用人单位进行协商，表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解单位不续签的具体原因。通过沟通，有时可以达成双方都能接受的解决方案。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要提供相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以证明您的权益受到侵害。仲裁委员会将依法进行裁决，维护您的合法权益。
提起诉讼：如果您对仲裁结果不服，还可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要继续提供证据支持自己的主张，并遵循法院的审理程序。
四、注意事项
保留证据：在整个过程中，您务必注意保留相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、沟通记录等。这些证据将在您维权过程中发挥重要作用。
及时维权：根据法律规定，您应在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一年内提起劳动仲裁或诉讼。因此，请务必及时采取行动，以免超过时效期间而丧失胜诉权。
综上所述，当您与用人单位连续签订三次固定期限劳动合同后，若单位选择不再续签，您有权根据法律法规维护自己的合法权益。我建议您首先与单位进行协商，若协商无果则及时申请劳动仲裁或提起诉讼。同时，请务必保留好相关证据，并注意及时维权。