当您面临与用人单位续签第三次合同后，单位决定不再续签的情况时，这确实是一个需要仔细处理的问题。以下是我根据相关法律法规，为您提供的详细分析与建议：
一、核心结论
在您与用人单位连续订立三次固定期限劳动合同后，若用人单位不再续签，其合法性取决于是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。若符合条件而用人单位拒绝续签，则属于违法行为；若不符合条件或您不同意续订，用人单位则需支付经济补偿金。
二、详细分析
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《劳动合同法》的规定，当您与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同，且您没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等）时，续订劳动合同时，除非您主动提出订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当与您订立无固定期限劳动合同。
用人单位拒绝续签的法律后果：
- 若您符合签订无固定期限劳动合同的条件，而用人单位拒绝续签，则用人单位的行为构成违法。您有权要求用人单位继续履行合同，或者主张赔偿金（通常是二倍的经济补偿金）。
经济补偿金的支付：
- 若存在合法不续签的情况，如您不同意续订劳动合同，或者用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而您不同意，那么在劳动合同期满终止时，用人单位应向您支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算方式为：按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指您劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、处理建议
与用人单位沟通：
- 首先，建议您与用人单位进行充分沟通，了解其不再续签的具体原因，并表达自己的意愿和诉求。
确认自身权益：
- 根据上述法律规定，判断自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件，以及用人单位拒绝续签是否合法。
要求经济补偿或赔偿：
- 若用人单位拒绝续签且构成违法，您有权要求继续履行合同或主张赔偿金。
- 若用人单位合法不续签，您应要求其支付相应的经济补偿金。
办理离职手续：
- 在确认权益后，按照合同约定及相关程序办理离职手续，包括结算工资、支付经济补偿等。
保留证据：
- 在整个过程中，务必保留好相关证据，如劳动合同、工资单、考勤记录、离职证明等，以备后续可能出现的劳动纠纷。
寻求法律援助：
- 若您对用人单位的处理结果不满，或遇到复杂的劳动纠纷问题，建议寻求专业的法律援助或咨询劳动仲裁机构，以维护自己的合法权益。
四、总结与提醒
面对用人单位不再续签第三次合同的情况，您应首先了解自己的权益和法律规定，然后与用人单位进行充分沟通并确认处理方式。在整个过程中，保留好相关证据并寻求必要的法律援助是非常重要的。希望这些建议能帮助您妥善处理这一问题，维护自己的合法权益。