针对您提出的“第三次劳动合同单位不续签，劳动者要求续签但单位不同意”的问题，这确实是一个涉及劳动者权益的重要议题。以下是我为您详细梳理的解答和建议：
一、法律依据与权益明确
首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动者与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等），在续订劳动合同时，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这是劳动者的法定权益，用人单位不得无故拒绝。
二、处理流程与建议
与用人单位沟通：
- 您可以首先尝试与用人单位进行友好沟通，明确表达自己希望续签无固定期限劳动合同的意愿，并了解用人单位不续签的具体原因。
判断是否符合签订无固定期限劳动合同条件：
- 根据上述法律规定，判断自己是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。若符合，而用人单位拒绝续签，则用人单位的行为可能构成违法。
要求用人单位依法处理：
- 若您符合签订无固定期限劳动合同的条件，而用人单位拒绝续签，您可以要求用人单位继续履行合同或主张赔偿金（通常为二倍经济补偿金）。
办理离职手续与经济补偿：
- 若用人单位因合法原因（如您不同意续订固定期限劳动合同）决定不续签，根据法律规定，用人单位应向您支付经济补偿金。经济补偿金按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准。
保留相关证据：
- 在整个过程中，务必保留好与劳动关系及争议相关的所有证据，如劳动合同、工资单、考勤记录、离职证明等。这些证据将在后续可能的劳动纠纷中起到关键作用。
三、维权途径
向劳动行政部门投诉：
- 若与用人单位沟通无果，您可以向当地的劳动行政部门投诉。投诉时，提交相关证据以证明您与用人单位之间的劳动关系以及用人单位未依法签订无固定期限劳动合同的事实。
申请劳动仲裁：
- 若劳动行政部门的处理结果不能令您满意，或者您希望直接通过法律途径解决争议，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁前，收集好相关证据，并明确提出仲裁请求，如要求用人单位签订无固定期限劳动合同、支付双倍工资差额等。
提起诉讼：
- 若对劳动仲裁的结果不满意，您可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。诉讼过程中，建议寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分维护。
四、注意事项
- 及时行使权利：注意仲裁时效和诉讼时效的规定，避免因超过时效而丧失维权机会。
- 保持冷静与理性：在整个维权过程中，保持冷静与理性，通过合法、合理的途径解决问题，避免采取过激行为或言论。
综上所述，当您在第三次劳动合同续签时遇到用人单位不续签的情况，应首先明确自己的法定权益，然后与用人单位进行友好沟通，了解不续签的原因。若符合签订无固定期限劳动合同的条件而用人单位拒绝续签，您可以通过向劳动行政部门投诉、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径来维护自己的合法权益。在整个过程中，务必保留好相关证据，并及时行使权利。