针对您提出的“第三次签劳动合同，员工不续签怎么办”的问题，这实际上涉及到了劳动合同续签、无固定期限劳动合同的签订以及经济补偿等多个方面。以下是我为您提供的详细解答：
一、理解法律规定
首先，我们需要明确《中华人民共和国劳动合同法》中关于无固定期限劳动合同的相关规定。根据该法第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有特定违法或不能胜任工作的情形，续订劳动合同时，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这是劳动者的法定权益，用人单位应予以尊重。
二、分析员工不续签的原因
在第三次签劳动合同时，员工选择不续签，可能有多重原因，包括但不限于：
- 员工个人发展考虑：员工可能希望寻求更好的职业发展机会或工作环境。
- 对用人单位的不满：员工可能对用人单位的管理、待遇、工作环境等方面存在不满。
- 符合签订无固定期限劳动合同条件但用人单位未提出：若员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，而用人单位未提出，员工可能因此选择不续签以维护自身权益。
三、用人单位的处理方式
针对员工不续签的情况，用人单位应采取以下措施：
沟通与了解：
- 与员工进行充分沟通，了解其不续签的具体原因。
- 若员工因对用人单位存在不满而选择不续签，用人单位应认真倾听员工意见，并尝试改进。
判断是否违法不续签：
- 若员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，而用人单位未提出或拒绝签订，则用人单位的行为可能构成违法。
- 在此情况下，员工有权要求用人单位继续履行合同或主张赔偿金（二倍经济补偿金）。
合法不续签与经济补偿：
- 若员工不续签的原因不符合签订无固定期限劳动合同的条件，或员工主动提出不续签，且用人单位维持或提高了劳动合同约定条件，则用人单位无需承担违法责任。
- 但根据《劳动合同法》第四十六条，除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止时，用人单位应向劳动者支付经济补偿金。
办理离职手续：
- 按照合同约定及相关程序办理离职手续，包括结算工资、支付经济补偿（如适用）等。
- 确保离职过程合法、合规，避免引发不必要的劳动纠纷。
保留证据：
- 用人单位应保留好与员工签订的劳动合同、工资支付记录、考勤记录等证据，以备后续可能出现的劳动纠纷。
四、员工维权途径
若员工认为用人单位的处理方式侵犯了其合法权益，可以通过以下途径维权：
- 协商：与用人单位进行友好协商，寻求双方都能接受的解决方案。
- 调解：向当地的劳动争议调解组织申请调解，寻求第三方协助解决争议。
- 仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据以支持自己的主张。
- 诉讼：若对仲裁结果不满意，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
五、总结与建议
在第三次签劳动合同时，若员工选择不续签，用人单位应首先与员工进行充分沟通，了解其不续签的原因。若员工符合签订无固定期限劳动合同的条件而用人单位未提出或拒绝签订，则用人单位的行为可能构成违法，应承担相应责任。若员工不续签的原因不符合签订无固定期限劳动合同的条件或员工主动提出不续签，且用人单位维持或提高了劳动合同约定条件，则用人单位应依法支付经济补偿金（如适用）。在整个过程中，双方都应保留好相关证据，以备后续可能出现的劳动纠纷。同时，建议用人单位在处理此类问题时咨询专业律师或法律顾问的意见，以确保处理方式的合法性和合规性。