针对您提出的“第三次合同员工不过来续签怎么办”的问题，这确实是一个涉及劳动合同法的重要议题。以下是我为您提供的详细分析与建议：
一、法律背景与核心规定
首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年或连续订立两次固定期限劳动合同后，若提出续订无固定期限劳动合同，用人单位应当签订。但具体到第三次合同到期后是否必须续签，这并非一个绝对的问题，而是需要结合具体情况来分析。
第三次合同的性质：
- 如果前两次已经签订了固定期限劳动合同，且劳动者未提出异议，那么第三次合同仍然可能是固定期限合同，这需要双方协商一致。
- 如果劳动者在前两次合同期满后已经明确要求签订无固定期限劳动合同但未获同意，那么第三次合同到期后，单位如果终止合同，可能构成违法解除。
合同到期终止的合法性条件：
- 用人单位可以合法终止合同的情形包括：劳动者不同意续签、单位维持或提高待遇但劳动者拒绝、经济性裁员等法定情形。
- 如果单位无正当理由单方终止合同，可能构成违法解除，需要支付赔偿金（通常是2N倍月工资，N为工作年限）。
二、处理流程与建议
沟通与了解：
- 用人单位应首先与劳动者进行充分沟通，了解其不愿意续签的具体原因，这有助于为后续处理打下基础。
判断是否违法不续签：
- 根据上述法律背景，判断是否符合签订无固定期限劳动合同的条件。
- 如果符合条件且用人单位拒绝续签，劳动者有权要求继续履行合同或主张赔偿金。
合法不续签与经济补偿：
- 如果存在合法不续签的情况（如劳动者不同意续订），用人单位需要按照法律规定支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式通常是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准。
办理离职手续：
- 无论是否续签，双方都应按照合同约定及相关程序办理离职手续，包括结算工资、支付经济补偿（如果适用）等。
保留证据：
- 用人单位和劳动者都应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、考勤记录、离职证明等，以备后续可能出现的劳动纠纷。
三、劳动者的应对策略（如果劳动者是询问方）
主张续签无固定期限合同：
- 如果劳动者已经连续签订了两次固定期限劳动合同且没有重大过错，可以书面要求单位续签无固定期限合同，并保留沟通记录。
协商经济补偿方案：
- 如果单位无意续签，劳动者可以与单位协商经济补偿金额，通常可以按N（工作年限对应的经济补偿月数）+1（额外一个月代通知金，如果适用）的标准执行，但需双方书面确认。
申请劳动仲裁：
- 如果双方无法达成一致，劳动者可以在争议发生之日起一年内申请劳动仲裁，准备相关材料如劳动合同、工资流水、终止通知、沟通记录等。
四、注意事项
- 证据留存：无论是用人单位还是劳动者，都应保存好所有与劳动合同相关的材料，以备不时之需。
- 及时维权：如果发生劳动纠纷，应及时采取行动，避免超过仲裁时效。
- 法律咨询：对于复杂的情况，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见。
综上所述，当第三次合同到期员工不愿意续签时，双方应依法依规进行处理，确保各自的合法权益得到保障。用人单位应特别注意遵守相关法律法规，避免不必要的法律风险和经济损失。