结论：针对您在私人公司上班半年未签合同且被辞退的情况，您有权要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额以及可能的经济补偿金。以下是详细分析：
一、未签劳动合同的双倍工资差额
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
具体计算：
- 您在公司工作了半年，即6个月，但第一个月通常不计算双倍工资（因为法律给予用人单位一个月的宽限期来签订合同）。
- 因此，您有权要求公司支付5个月的双倍工资差额。假设您每月的工资为X元，则公司应支付您5X元的双倍工资差额（扣除已支付的正常工资后，实际应额外支付4X元，但通常表述为双倍工资差额即指额外支付的部分，此处为说明计算逻辑，故表述为5X元中需额外支付的部分，实际操作中会明确是额外支付4X元）。不过，在司法实践中，会直接计算为应支付而未支付的工资部分，即您已领取的5个月工资是正常工资，公司还需额外支付这5个月的工资作为双倍工资差额（但实际操作中会扣除已支付的，即再支付5个月工资中的“额外”部分，简言之，就是再得5个月工资的数额，但理解上应为“再得相当于5个月工资的额外补偿”，实际支付时不会重复支付已领工资，故最终是额外获得4个月工资的补偿效果，但法律表述为双倍工资差额，即应得总额为两倍，已得一份，故再得一份差额，此处为保持法律表述准确性，我们按法律逻辑说明为应支付5个月工资的双倍差额概念，即若严格从“差额”角度算，是再得5个月工资数额的补偿，但理解上需知这是基于已得工资基础上的额外补偿）。更准确的表述应为：您有权要求公司支付相当于5个月工资的额外补偿（即双倍工资差额，实际为再支付您5个月工资的数额，但此数额是作为对未签合同的补偿，并非重复支付您已领取的工资）。
- 简化理解：您可以理解为，因为公司没签合同，所以除了您已经拿到的5个月工资，公司还得再给您5个月工资作为补偿（但实际操作中，会明确这是双倍工资差额的补偿，不会让您真的重复拿工资）。不过，从维权角度，您只需知道您有权要求公司额外支付相当于5个月工资的数额即可。
二、经济补偿金
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条：“有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：……（三）用人单位依照本法第四十条规定解除劳动合同的；……”
- 第四十条：“有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：……（二）劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；……”（此条为示例，实际辞退原因可能不同，但若公司无正当理由辞退，则需支付经济补偿金）
- 若公司无正当理由辞退您，则属于违法解除劳动合同，需按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。但若公司能证明辞退您有合法理由（如您严重违反公司规章制度等），则可能只需支付经济补偿金或无需支付。不过，从您描述的情况看，公司未签合同且未提前通知辞退，很可能构成违法解除。
具体计算（假设为违法解除）：
- 经济补偿金的标准为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 但因为是违法解除，所以赔偿金为经济补偿金的两倍，即您有权要求公司支付您1个月工资的赔偿金（因为您工作了半年，按半个月经济补偿金计算，但违法解除则双倍，即1个月工资作为赔偿金）。不过，若严格从“经济补偿金”角度（非赔偿金），则是半个月工资，但此处您的情况更可能构成违法解除，故按赔偿金计算。
- 简化理解：如果公司是违法辞退您，您有权要求公司支付您1个月工资的赔偿金（若按经济补偿金算则是半个月，但违法解除则双倍）。
三、行动建议
收集证据：
- 保留好工资条、工作证、考勤记录等能证明您在公司工作过的证据。
- 若有与公司沟通辞退事宜的聊天记录、录音等，也一并保留。
协商解决：
- 尝试与公司协商，要求公司支付未签劳动合同的双倍工资差额和违法解除的赔偿金。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
最后，若您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我在涉外纠纷、公司事务、合同纠纷等领域有丰富的经验，可以为您提供专业的法律支持。