针对您上班半年没签合同且被老板辞退的情况，您有权通过法律途径维护自己的合法权益，具体可从以下几个方面进行：
一、明确您的法律权益
未签劳动合同的双倍工资差额
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 具体计算：您有权要求单位支付从第二个月起至第六个月的双倍工资差额，即额外一倍的工资。例如，若您每月工资为5000元，则可主张的双倍工资差额为5000元×5个月=25000元。
违法解除劳动合同的赔偿金
- 法律依据：若单位没有合法理由就辞退您，属于违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，单位应当向您支付赔偿金，赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。
- 经济补偿计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您可获得一个月工资的赔偿金。若您每月工资为5000元，则赔偿金为5000元×1个月×2=10000元（因违法解除，故需乘以2）。
二、收集证据以支持您的主张
- 工作记录类：如考勤表、工作日志、工作任务分配单等，这些能证明您在公司的日常工作内容和时间安排。
- 薪资相关类：工资条、银行工资流水明细等，这些能体现公司向您支付劳动报酬的情况。
- 沟通记录类：与上级或同事的工作邮件、聊天记录（如微信、QQ等），其中可能包含工作安排、任务讨论等内容，从侧面反映您在公司的工作状态。
三、与公司进行协商谈判
- 主动沟通：在收集了足够的证据后，可以尝试与公司的人力资源部门或直接上级领导进行沟通，明确指出公司未签订劳动合同以及违法辞退的行为违反了相关法律法规，要求公司给予合理的赔偿。
- 协商方案：如果公司同意进行协商，双方可以就赔偿金额、支付方式、离职手续办理等问题进行讨论，并尽量达成一个双方都能接受的解决方案。在协商过程中，要注意保留好相关的沟通记录和协议内容。
四、申请劳动仲裁
若与公司协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，具体流程如下：
准备材料
- 劳动仲裁申请书：应写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求（如要求支付双倍工资差额、赔偿金等）、事实和理由等内容。
- 证据材料：将之前收集的各种证据进行分类整理，并按照仲裁委员会的要求提交副本。
- 其他材料：如身份证复印件、公司的工商登记信息等。
提交申请
- 将准备好的材料提交给当地劳动争议仲裁委员会，一般可以在仲裁委员会的官方网站或办公地点获取详细的申请流程和表格。
- 仲裁委员会在收到申请后，会进行审查，符合受理条件的，会在一定期限内予以受理，并通知双方当事人。
参与仲裁庭审
- 在仲裁庭审中，您需要按照仲裁庭的程序进行陈述、举证、质证等环节。要清晰地表达自己的诉求和理由，并提供充分的证据支持自己的观点。
- 同时，要认真听取公司的答辩意见和反驳观点，以便更好地应对和辩论。
五、提起诉讼（若对仲裁结果不满意）
- 判断是否符合起诉条件：如果对劳动仲裁结果不满意，认为仲裁裁决存在错误或不公正的情况，可以在规定的期限内向有管辖权的人民法院提起诉讼。一般来说，起诉期限是自收到仲裁裁决书之日起十五日内。
- 准备诉讼材料：包括民事起诉状、仲裁裁决书复印件、相关证据材料等。民事起诉状要明确诉讼请求、事实和理由，并按照被告人数提出副本。
- 参加庭审：在诉讼过程中，要遵循法院的诉讼程序，积极配合法院的审理工作。通过法庭调查、举证质证、法庭辩论等环节，充分阐述自己的观点和主张，争取法院的支持和判决。
在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。