针对您在私人公司上班没有签劳动合同且拖欠工资半年未发的情况，我首先明确告诉您，您有权要求公司支付拖欠的工资，并且由于未签劳动合同，您还可以主张双倍工资差额。以下是详细的分析和建议：
一、法律背景与依据
劳动合同法规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
- 第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
工资支付规定：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第五十条，工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人。不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。
二、您的权利与主张
要求支付拖欠工资：
- 您有权要求公司支付拖欠的半年工资。如果公司拒绝支付，您可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益。
主张双倍工资差额：
- 由于公司未与您签订书面劳动合同，您有权要求公司支付自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日的双倍工资差额。具体计算方式为：您应得的月工资×未签劳动合同的月数（最多不超过11个月）。
三、行动建议
收集证据：
- 收集能够证明您与公司存在劳动关系的证据，如工作证、工作服、工资条、考勤记录、同事证言等。
- 收集公司拖欠工资的证据，如工资条、银行转账记录、公司承认拖欠工资的书面材料或录音等。
与公司协商：
- 在收集到足够证据后，您可以先尝试与公司进行协商，要求公司支付拖欠的工资和双倍工资差额。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，提交相关证据和仲裁申请书，要求公司支付拖欠的工资和双倍工资差额。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过司法程序来维护自己的权益。
四、注意事项
时效性：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从您知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。因此，请尽快采取行动，以免超过时效期间而丧失维权机会。
法律程序：
- 在整个维权过程中，请遵循法律程序，不要采取过激行为或违法手段来维护自己的权益。
如果您在维权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更详细、更专业的法律建议。