面对您工作半个月未签订劳动合同且用人单位未支付工资的情况，您完全有权要求用人单位支付应得的工资，并可以通过一系列法律途径来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的维权步骤和建议：

一、首要任务：收集证据

证据是维权的基础，您需要尽可能全面地收集与工作相关的证据，包括但不限于：

• 工作相关材料：如工作证、考勤记录（可以是打卡记录、签到表等）、工作邮件、任务分配记录、工作成果文件等，这些都能证明您确实为用人单位提供了劳动。
• 工资相关证据：虽然您只工作了半个月，但如果有工资条、银行工资流水（即使未实际发放，也可能有工资入账的预期记录）、与工资有关的聊天记录或短信等，都应妥善保存。
• 人证：同事的证人证言也是重要证据，尤其是能证明您工作时间和内容的同事，他们的证言可以增强您主张的可信度。

二、尝试与用人单位协商

在收集好证据后，您可以尝试与用人单位进行协商，这是最直接也最快捷的解决方式。在协商过程中，您应：

• 清晰说明自己的工作时间、应得工资数额及支付要求。
• 倾听用人单位的解释，判断是否为误解或特殊情况导致的未支付工资。
• 如果协商成功，务必要求用人单位出具书面支付承诺或立即支付工资。

三、向劳动监管部门投诉

如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉。投诉时，您需要：

• 携带好收集的证据材料。
• 填写投诉表格，详细说明投诉事项和诉求，包括用人单位的名称、地址、法定代表人或主要负责人的姓名、联系方式，以及您的工作情况、未支付工资的具体数额等。
• 劳动监察部门将进行调查，并根据调查结果对用人单位进行处理，如责令限期支付工资等。

四、申请劳动仲裁

如果劳动监察部门的处理未能满足您的诉求，或者您希望更正式地解决争议，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。申请仲裁时，您需要：

• 提交仲裁申请书，包含您的基本信息、用人单位信息、仲裁请求（如要求支付工资）、事实和理由等。
• 附上之前收集的证据材料。
• 劳动争议仲裁委员会将受理申请，并安排开庭审理。在庭审中，您需要陈述自己的主张，并提供证据支持。
• 仲裁裁决具有法律效力，如果用人单位不履行裁决，您可以向法院申请强制执行。

五、了解并可能运用相关法律法规

在维权过程中，了解并可能运用相关法律法规是非常重要的。例如：

• 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应在一个月内签订书面劳动合同。虽然您只工作了半个月，但用人单位未签订劳动合同的行为已经违反了法律规定。
• 如果用人单位超过一个月不满一年未签订劳动合同，应向劳动者每月支付二倍的工资。虽然这一条款在您的情况下可能不完全适用，但它显示了法律对用人单位未签订劳动合同行为的严厉态度。

六、保持耐心和坚持

处理此类问题可能需要时间和努力，您务必保持耐心和坚持。不要因为一时的困难或用人单位的拖延而放弃自己的权益。记住，法律是保护您权益的有力武器。

综上所述，面对未签订劳动合同且用人单位未支付工资的情况，您应积极采取行动，通过收集证据、与用人单位协商、向劳动监管部门投诉、申请劳动仲裁等途径来维护自己的合法权益。同时，了解相关法律法规并保持耐心和坚持也是成功维权的重要因素。希望这些建议能对您有所帮助。