你可以通过以下途径维护自身权益，核心结论如下：
- 主张未签书面劳动合同的双倍工资差额
根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月未与劳动者签订书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍工资。你已工作7个半月，可主张从第2个月起至第7.5个月的双倍工资差额（即6.5个月工资）。需注意：
- 需证明劳动关系存在（如工资流水、考勤记录、工作证、同事证言等）；
- 仲裁时效为1年，自你知道权益受损之日起算（建议尽快行动）。
- 反对违法解除，主张赔偿金或继续履行合同
若单位无法定理由开除你（如严重违纪、不能胜任工作等），属于违法解除，你可选择：
- 要求赔偿金：按工作年限支付2倍经济补偿（7.5个月≈0.75年，赔偿金为1.5个月工资）；
- 要求继续履行合同：若你希望保留工作，可主张单位继续履行劳动合同。
关键点：单位需证明解除合法（如提供规章制度、考核记录等），否则承担举证不利后果。
- 同步主张未缴社保的权益
若单位未为你缴纳社保，你可向社保部门投诉要求补缴，或以此为由被迫解除劳动合同并主张经济补偿（N=0.75个月工资）。
行动建议：
- 收集证据：整理工资条、银行流水、考勤记录、工作邮件、聊天记录等证明劳动关系和工作时间；
- 与单位协商：明确要求支付双倍工资差额、赔偿金或补缴社保，保留协商记录；
- 申请劳动仲裁：若协商无果，向单位所在地的劳动仲裁委提交仲裁申请（需在1年内提出）；
- 咨询专业支持：劳动争议涉及程序和证据规则，如有疑问可进一步向我咨询具体操作。
提示：单位可能以“试用期未签合同”“口头约定”等抗辩，但法律明确规定试用期需签合同，且口头约定难以举证。保持冷静，依法维权是关键。