公司解除劳动关系但未当天结清工资，公司需承担的责任主要包括支付工资及可能的经济补偿，具体分析如下：
支付工资的责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十条的规定，用人单位应当按照劳动合同约定和国家规定，向劳动者及时足额支付劳动报酬。这意味着，无论劳动关系是否解除，公司都有义务按时支付员工的工资。
- 若公司解除劳动关系时未当天结清工资，这违反了上述法律规定，公司需承担支付拖欠工资的责任。员工有权要求公司立即支付未结清的工资，并可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的权益。
可能的经济补偿责任：
- 除了支付拖欠的工资外，如果公司因未及时支付工资而违反了劳动合同或相关法律法规，且这一行为构成了违法解除劳动合同的情形（尽管此情形下未直接关联解除劳动合同的合法性，但若因拖欠工资导致员工被迫离职等，可能间接影响），根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条和第四十七条的规定，公司可能还需向员工支付经济补偿。
- 经济补偿的具体数额通常根据员工在公司的工作年限、月工资等因素来确定。例如，如果员工在公司工作满一年，公司可能需要支付一个月工资作为经济补偿；工作年限更长或月工资更高的，经济补偿的数额也会相应增加。不过，单纯未当天结清工资，并不直接等同于违法解除劳动合同，是否需支付经济补偿需结合具体情形判断，如是否因此导致员工被迫离职等。
其他可能的法律责任：
- 如果公司未按时支付工资的行为情节严重，如长期拖欠、恶意拖欠等，还可能面临劳动行政部门的处罚，如罚款、责令改正等。
- 此外，如果公司的行为给员工造成了其他损失（如因拖欠工资导致的交通费、误工费等额外支出），员工也有权要求公司进行赔偿。
建议：
- 对于员工而言，如果公司解除劳动关系时未当天结清工资，首先应与公司进行协商，要求公司立即支付未结清的工资。
- 如果协商无果，员工可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求公司支付拖欠的工资及可能的经济补偿。
- 在整个过程中，员工应保留好相关证据（如劳动合同、工资条、解除劳动关系的通知等），以便在需要时提供证明。
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