结论：员工未与原公司签订劳动合同，又在其他公司签订劳动合同，可能涉及双重劳动关系问题，原公司可依据法律规定采取相应措施，员工也可能面临法律责任，具体处理方式需根据实际情况判断。
分析如下：
原公司角度：
- 确认劳动关系：尽管未签订书面劳动合同，但根据《劳动合同法》及相关规定，若员工实际为原公司提供劳动，接受其管理，并获取劳动报酬，双方可能已形成事实劳动关系。原公司应收集考勤记录、工资支付凭证、工作证等证据，以证明劳动关系的存在。
- 处理双重劳动关系：若原公司发现员工在其他公司签订劳动合同并实际工作，可能构成对原公司劳动权益的侵害。原公司有权要求员工停止在其他公司的工作，或协商解除与原公司的劳动关系，并可根据实际情况主张经济补偿或赔偿。
- 法律途径：若员工拒绝配合，原公司可依据《劳动合同法》相关规定，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认劳动关系、解除劳动关系并主张相应权益。
员工角度：
- 法律责任：员工同时与两家公司建立劳动关系，可能违反与原公司的忠诚义务或竞业限制约定（如有），需承担违约责任。同时，若因此给原公司造成损失，员工还需承担赔偿责任。
- 选择与协商：员工应尽快与原公司沟通，说明情况，并协商解决方案。如选择继续在原公司工作，应解除与其他公司的劳动关系；如选择离职，应依法办理离职手续，并协商经济补偿等事宜。
- 风险防范：员工在签订劳动合同时，应仔细阅读合同条款，特别是关于竞业限制、保密义务等条款，避免因违反约定而承担法律责任。
其他公司角度：
- 尽职调查：其他公司在与员工签订劳动合同时，应进行必要的尽职调查，了解员工是否已与其他公司存在劳动关系，以避免因招聘存在双重劳动关系的员工而引发法律纠纷。
- 法律合规：若其他公司明知员工已与其他公司存在劳动关系仍与其签订合同，可能面临与原公司共同承担法律责任的风险。因此，其他公司应确保招聘行为的合法性和合规性。