可以申请赔偿。针对您在酒楼上班一个多月没签劳动合同且被公司开除的情况，以下是从不同角度为您进行的分析：
一、未签订劳动合同的法律责任
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，您有权要求酒楼支付您工作期间（超过一个月的部分）的双倍工资差额。具体来说，如果您在酒楼工作了一个半月，那么您有权要求酒楼支付您半个月工资的双倍差额。
二、被开除的赔偿问题
合法开除：如果酒楼有合法的理由开除您，比如您严重违反了公司的规章制度，那么酒楼可能不需要支付赔偿金。但酒楼需要提供充分的证据证明其开除行为的合法性。
非法开除：如果酒楼没有合法的理由开除您，或者开除程序不合法，那么您有权要求酒楼支付赔偿金。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，如果您在酒楼工作了一个多月，且酒楼非法开除您，您有权要求酒楼支付一个月工资的赔偿金（因为工作不满六个月，按半个月工资的经济补偿标准的二倍计算，但考虑到实际工作时长超过一个月，且为简化计算，此处可理解为至少有权要求一个月工资的赔偿，具体数额需根据实际情况和法院判决确定）。
三、建议行动步骤
收集证据：首先，您需要收集与酒楼存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录等。同时，收集酒楼未与您签订劳动合同以及非法开除您的证据，如开除通知、同事证言等。
与酒楼协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与酒楼进行协商，要求其支付双倍工资差额和赔偿金。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求酒楼支付相应的赔偿。
提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
在整个过程中，如果您遇到任何困难或疑问，都可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更详细的法律建议和帮助。