结论前置：被开除且没有签合同的情况下，劳动者通常有权要求赔偿，具体包括未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿以及违法解除劳动关系的赔偿金。
一、未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
- 第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
赔偿期限与计算：
- 劳动者可以要求用人单位支付从第二个月起至满一年期间的双倍工资，最多可主张11个月。
- 计算方式为：月工资 × 未签订劳动合同的月数 × 2（但实际支付时，需扣除已支付的正常工资部分，即实际获得的是月工资的额外一倍）。例如，若月工资为5000元，未签订劳动合同的月数为5个月，则双倍工资差额为5000元 × 5 = 25000元（此为额外一倍的工资，加上已支付的工资，实际获得的是两倍工资中的差额部分）。
注意事项：
- 劳动者应注意收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付凭证（工资条、银行转账记录等）、工作证、考勤记录、同事证言等，以支持其主张。
二、违法解除劳动关系的赔偿金
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
赔偿金计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 赔偿金则为经济补偿的二倍。例如，若劳动者在本单位工作了6个月，月工资为5000元，则经济补偿为半个月工资，即2500元，赔偿金则为5000元。
选择权：
- 如果劳动者要求继续履行劳动合同，用人单位应当继续履行；若劳动者不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，则用人单位应支付赔偿金。
三、主张赔偿的流程与注意事项
收集证据：
- 劳动者应全面收集能证明劳动关系存在、入职时间、工资水平以及被开除的事实的证据，如前所述。
仲裁时效：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时主张权利，避免超过仲裁时效。
法律程序：
- 若与用人单位就赔偿问题无法协商一致，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼。
举例说明：假设小李于2023年3月1日入职某公司，月工资为6000元，公司一直未与其签订书面劳动合同，并于2023年9月1日无故将其开除。那么小李可以要求公司支付：
- 未签订书面劳动合同的双倍工资差额：从2023年4月1日至2023年8月31日，共计5个月，双倍工资差额为6000元 × 5 = 30000元（实际获得的是额外一倍的工资）。
- 违法解除劳动合同的赔偿金：小李工作了6个月，经济补偿为半个月工资，即3000元，赔偿金则为6000元。
综上所述，被开除且没有签合同的情况下，劳动者有权要求相应的赔偿。在具体操作中，劳动者应注意收集证据、把握仲裁时效，并依法通过法律程序维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。