结论：被裁员一个月公司一直没签劳动合同，您是有权申请赔偿的。
法律背景与解释：
未签订劳动合同的法律责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果公司未在您入职一个月内与您签订劳动合同，那么从第二个月开始，公司应当支付您双倍的工资作为赔偿。
裁员与赔偿的关系：
- 裁员本身并不免除公司因未签订劳动合同而应承担的法律责任。即使您被裁员，公司仍然需要就未签订劳动合同的部分向您支付赔偿。
申请赔偿的流程：
- 首先，您需要收集相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与公司之间存在劳动关系以及公司未与您签订劳动合同的事实。
- 接着，您可以与公司进行协商，要求公司支付未签订劳动合同的双倍工资差额。
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据和仲裁申请书，要求公司支付赔偿。
可能的法律后果：
- 如果公司拒绝支付赔偿，且劳动争议仲裁委员会裁决公司应支付赔偿，但公司仍不履行裁决，那么您可以向人民法院申请强制执行。
- 同时，公司还可能因未签订劳动合同而面临劳动行政部门的处罚。
建议与行动：
- 及时收集证据：确保您手头有足够的证据来证明您与公司之间的劳动关系以及公司未与您签订劳动合同的事实。
- 与公司协商：在采取法律行动之前，尝试与公司进行协商，看是否能够达成和解。
- 寻求法律援助：如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保护。
示例说明：
假设您于2023年1月1日入职某公司，但公司一直未与您签订劳动合同。在2023年6月1日，公司突然裁员。那么，从2023年2月1日至2023年6月1日（共4个月），公司应当向您支付双倍的工资作为赔偿。即，如果您的月工资为5000元，那么公司应额外支付您20000元（5000元/月 * 4个月 * 2 - 已支付的5000元/月 * 4个月 = 20000元，这里减去已支付的部分是因为双倍工资是在原有工资基础上额外支付的）。
如果您有任何进一步的疑问或需要法律帮助，请随时向我咨询。