没签合同被裁员，您确实有权申请赔偿。以下是从不同角度为您详细分析的情况：

1. 未签订书面劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果您在公司工作了一段时间但未签订书面合同，公司除了需要支付您应得的工资外，还需要额外支付一倍的工资作为赔偿。

2. 被裁员时的经济补偿：

   • 如果您被公司裁员，且公司未提前三十日以书面形式通知您本人或者额外支付您一个月工资（即代通知金），那么公司还需要根据您在公司的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 需要注意的是，这里的“月工资”是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

3. 未签订合同与裁员赔偿的叠加效应：

   • 在您未签订书面劳动合同的情况下被裁员，您不仅可以要求公司支付未签订合同期间的双倍工资差额，还可以要求公司支付裁员时的经济补偿。这两部分赔偿是独立的，可以同时主张。

4. 实际操作建议：

   • 首先，收集并保存好您在公司工作的相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与公司之间存在事实劳动关系。
   • 其次，与公司进行协商，明确提出您的赔偿要求，并尝试达成和解协议。
   • 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，提交相关证据和仲裁申请书，要求公司支付未签订合同期间的双倍工资差额和裁员时的经济补偿。

举例说明： 假设您在公司工作了8个月，但一直未签订书面劳动合同，且现在被公司裁员。那么，您有权要求公司支付：

• 未签订合同期间的双倍工资差额：假设您每月工资为5000元，则公司需额外支付您7个月的工资（第一个月不计算双倍），即35000元。
• 裁员时的经济补偿：由于您在公司工作了8个月，公司需支付您1个月的工资作为经济补偿，即5000元。

因此，您总共可以要求公司支付40000元的赔偿。

特别提醒：

• 在申请劳动仲裁前，建议您先咨询专业律师（即我，胡语桐律师，专注于婚姻家庭、劳动纠纷等多个领域），以确保您的权益得到充分保障。
• 劳动仲裁的时效期间为一年，从您知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。因此，请务必在时效期间内及时申请劳动仲裁。

如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。