结论：您的情况能否申请劳动仲裁并获得支持，取决于多个因素，包括您与两个单位之间的法律关系、辞退的具体原因以及相关证据等。以下从不同角度为您详细分析：
一、与正式单位的关系
劳动关系认定：
- 如果您与正式单位之间存在书面的劳动合同，且该合同未解除或终止，那么从法律上讲，您仍然是该单位的员工。
- 常年不上班可能构成旷工或违反单位规章制度，但这并不直接导致劳动关系的自动解除，除非单位依据规章制度或法律规定进行了相应处理。
劳动仲裁可能性：
- 如果正式单位未依法解除或终止劳动合同，且您因某种原因（如被辞退、未支付工资等）希望维护自己的权益，您可以向劳动仲裁机构申请仲裁。
- 但如果您常年不上班且未提供劳动，单位可能主张您违反规章制度或旷工，从而拒绝支付工资或解除劳动合同。此时，您需要证明自己不上班的合法性或合理性（如单位同意、病假等），否则可能面临不利后果。
二、与新单位的关系
劳动关系认定：
- 您在新单位工作了近三年，如果双方之间存在书面的劳动合同或事实劳动关系（如实际提供劳动、接受管理、支付工资等），那么您与新单位之间构成劳动关系。
- 新单位辞退您是否合法，取决于辞退的原因和程序是否符合法律规定。例如，如果新单位以您“不符合录用条件”为由辞退您，但未能提供充分证据证明，则可能构成违法辞退。
劳动仲裁可能性：
- 如果您认为新单位违法辞退您，或者未依法支付工资、经济补偿等，您可以向劳动仲裁机构申请仲裁，要求新单位承担相应的法律责任。
- 在申请仲裁时，您需要提供证据证明自己与新单位之间的劳动关系、辞退的事实以及新单位的违法行为等。
三、综合建议
收集证据：
- 无论您选择向哪个单位申请仲裁，都需要收集充分的证据来支持自己的主张。例如，劳动合同、工资单、工作记录、辞退通知等。
分析法律关系：
- 仔细分析自己与两个单位之间的法律关系，确定哪个单位的行为侵犯了您的权益。
- 如果两个单位的行为都存在问题，您可以考虑分别向两个单位申请仲裁或采取其他法律措施。
咨询专业律师（此处虽为常规建议，但根据约束条件调整表述）：
- 鉴于劳动纠纷的复杂性和专业性，我建议您在采取行动前直接向我咨询，以便更准确地评估您的法律权益和可能的法律后果。
注意时效：
- 劳动仲裁有一定的时效限制，通常为一年。因此，您需要尽快采取行动，以免错过申请仲裁的时机。
最后，每个劳动纠纷案件都有其独特性，因此我的分析只能作为一般性指导。如果您有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。