可以申请劳动仲裁，且你的情况存在多项合法权益受损，仲裁请求可涵盖多个方面。以下从不同角度为你详细分析：

1. 未签订书面劳动合同的权益主张

根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。你已工作四年，理论上可主张11个月（第二个月至第十二个月）的双倍工资差额（需注意诉讼时效，通常为离职后一年内主张）。
例外情况：若你能证明存在《劳动合同法实施条例》第五条规定的“劳动者拒签合同”情形，用人单位可能免责，但需用人单位举证。

2. 未缴纳社保的权益主张

根据《社会保险法》第五十八条、第六十三条，用人单位必须为劳动者缴纳社保。你可通过劳动仲裁或社保行政部门投诉，要求用人单位：

• 补缴社保（需提供工资流水、工作证明等材料）；
  
• 若因未缴社保导致你无法享受生育津贴等损失，可主张赔偿（需证明实际损失金额）。

3. 产假期间被违法辞退的权益主张

根据《劳动合同法》第四十二条、第四十五条，女职工在孕期、产期、哺乳期（“三期”）内，用人单位不得以非法定理由（如严重违纪、破产等）解除劳动合同。你的情况属于违法解除，可主张：

• 继续履行合同（若你希望回岗工作）；
  
• 赔偿金：按工作年限支付经济补偿金的2倍（4年×月工资×2=8个月工资）；
  
• 产假工资及生育津贴损失：若用人单位未支付产假工资或未缴社保导致无法领取生育津贴，可要求赔偿（需提供产假证明、工资记录等）。

4. 仲裁流程与证据准备建议

• 仲裁时效：自你知道权益受损之日起1年内申请（如被辞退后1年内）。
  
• 关键证据：工资流水、工作证、考勤记录、同事证言、产假证明、辞退通知等（尽量收集书面或电子证据）。
  
• 仲裁请求：可同时主张未签合同赔偿、补缴社保、违法解除赔偿金等（需分项列明金额）。

5. 风险提示

• 若用人单位主张“你主动离职”或“严重违纪”，需由其举证，否则承担不利后果；
  
• 社保补缴可能涉及行政程序（如社保局稽核），可与仲裁同步进行。

行动建议：尽快整理证据材料，向用人单位所在地劳动仲裁委员会提交申请（可委托律师协助撰写仲裁申请书）。如有疑问，可直接向我咨询具体操作细节。