你可以申请劳动仲裁，且你的诉求有较大可能得到支持。具体分析如下：

1. 未签劳动合同的仲裁诉求
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。你已工作5个月，单位未签合同，可主张从第2个月至第5个月（共4个月）的双倍工资差额。
   举例：若你月工资5000元，可主张20000元（5000×4）赔偿。

2. 未缴纳社保的仲裁诉求
   根据《社会保险法》第五十八条、第六十三条，用人单位必须自用工之日起30日内为劳动者办理社保登记并缴费。单位未缴纳社保，你有权要求：

• 补缴社保：仲裁或劳动监察部门可责令单位补缴（需你配合提供劳动关系证明，如工资流水、工牌等）；
  
• 经济补偿：若以“未依法缴纳社保”为由解除劳动合同，可依据《劳动合同法》第三十八条、第四十六条主张N个月工资的经济补偿（N为工作年限，5个月按0.5个月计算）。
  注意：部分地区社保补缴需通过社保稽核部门处理，仲裁委可能仅确认劳动关系，具体流程需结合当地政策。

1. 仲裁流程与证据准备
   

• 申请时效：自你知道权益受损之日起1年内提出（未签合同的双倍工资差额主张需在离职后1年内提出，若仍在职则从第13个月起算时效）；
  
• 关键证据：工资流水、考勤记录、工牌、同事证言、工作群聊天记录等能证明劳动关系的材料；
  
• 仲裁请求：可同时主张双倍工资差额、补缴社保（或经济补偿）、确认劳动关系等。

建议行动：

1. 收集证据（优先工资流水、考勤记录）；
   
2. 向单位发送书面《补签合同及补缴社保通知》（留存送达证据，如邮件、短信）；
   
3. 若单位拒绝，向当地劳动仲裁委申请仲裁（免费），或向社保稽核部门投诉未缴社保问题。
   

如有进一步疑问（如证据收集细节、仲裁流程操作），可直接向我咨询。