可以申请劳动仲裁，且员工在仲裁中有多项合理诉求可主张。以下是具体分析：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍工资。您工作5年多，理论上可主张11个月（第2个月至第12个月）的双倍工资差额（需注意：部分地区如广东规定，超过1年未签合同视为已订立无固定期限合同，双倍工资差额最多主张11个月）。

2. 未缴纳社保的补缴或赔偿
   根据《社会保险法》第58条、第63条，用人单位必须为员工缴纳社保。您可要求老板：

   • 补缴工作期间的社会保险（需向社保部门投诉，由社保部门责令补缴）；
     
   • 若因未缴社保导致您无法享受社保待遇（如医疗、养老等），可主张实际损失赔偿（如医疗费自费部分、养老金损失等）。

3. 经济补偿金（若离职）
   若您以“未依法缴纳社保”为由提出离职，根据《劳动合同法》第38条、第46条，可主张N个月工资的经济补偿金（N为工作年限，5年多即5.5个月工资）。

4. 其他潜在诉求

   • 加班费：若存在加班事实且未支付加班费，可一并主张；
     
   • 未休年假工资：若未安排年休假且未支付3倍工资，可主张相应补偿。

行动建议：

1. 收集证据：工资条、银行流水、工作证、考勤记录、同事证言等，证明劳动关系及工作年限；
   
2. 优先投诉：向当地社保部门投诉未缴社保问题（社保部门可责令补缴）；
   
3. 申请仲裁：向劳动仲裁委申请仲裁，主张双倍工资、经济补偿金等（需在离职后1年内提出）；
   
4. 注意时效：双倍工资差额的仲裁时效为1年（自知道权益受损之日起算），部分地区从工作满1年起算，建议尽快行动。

风险提示：若老板否认劳动关系，可能需通过仲裁确认劳动关系（需提供充分证据）。如有疑问，可进一步向我咨询具体操作细节。