结论前置：员工可以主张未签劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。

详细分析：

1. 关于未签劳动合同的双倍工资差额：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 应用情况：在您描述的情况中，公司与员工前三个月签了劳动合同，但后三个月没签。因此，对于后三个月未签劳动合同的部分，员工有权要求公司支付双倍工资差额。具体来说，如果员工在这后三个月的月工资是固定的，那么公司需要支付这三个月工资总额作为双倍工资差额（扣除已支付的部分）。

2. 关于违法解除劳动合同的赔偿金：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 应用情况：在您描述的情况中，公司无理由辞退员工，这明显违反了劳动合同法的规定。因此，员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的计算方式是：员工在公司的工作年限（每满一年支付一个月工资的标准，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资）乘以二。由于员工在公司工作了六个月，所以应支付一个月工资作为经济补偿，再乘以二，即支付两个月的工资作为赔偿金。

额外建议：

• 收集证据：员工在主张自己的权益时，应尽可能收集相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、辞退通知等，以证明自己与公司之间的劳动关系以及公司的违法行为。
• 协商与仲裁：在收集到足够证据后，员工可以先尝试与公司进行协商，看是否能达成和解。如果协商无果，员工可以向当地的劳动仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

后续行动指导：

• 如果您或您身边的人遇到类似情况，建议先与公司进行友好沟通，明确表达自己的诉求和依据。
• 如果沟通无果，不要犹豫，及时收集证据并准备申请劳动仲裁。在这个过程中，如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。